Свойства пределов функции
Основные свойства ограничений с примерами
Свойства пределов, которые помогут вам решить проблемы даже с самыми сложными пределами функций и последовательностей, подробно описаны ниже!
1. Предел суммы двух функций равен сумме пределов от каждой из функциональных компонент:
\(\ \lim _{x \rightarrow a}[f(x)+g(x)]=\lim _{x \rightarrow a} f(x)+\lim _{x \rightarrow a} g(x) \)
Комментарий. Это свойство распространяется на большее количество терминов:
\(\ \lim _{x \rightarrow a}\left[f_{1}(x)+f_{2}(x)+\ldots+f_{n}(x)\right]=\lim _{x \rightarrow a} f_{1}(x)+\lim _{x \rightarrow a} f_{2}(x)+\ldots+\lim _{x \rightarrow a} f_{n}(x) \)
ПРИМЕР
Найти: \(\
\lim _{x \rightarrow 1}\left(x^{2}+x\right)
\)
Согласно свойству, предел суммы двух функций равен сумме пределов от каждого из них:
\(\
\lim _{x \rightarrow 1}\left(x^{2}+x\right)=\lim _{x \rightarrow 1} x^{2}+\lim _{x \rightarrow 1} x=1^{2}+1=2
\)
\(\
\lim _{x \rightarrow 1}\left(x^{2}+x\right)=2
\)
2. Предел константы равен самой константе:
\(\
\lim _{x \rightarrow a} C=C=\mathrm{const}
\)
ПРИМЕР
Найти: \(\
\lim _{x \rightarrow 1} e^{2}
\)
Так как выражение \(\
e^{2}
\) под знаком предела не зависит от переменной \(\
x
\), по которой оно расположено, оно является константой. И тогда, согласно собственности, мы имеем:
\(\
\lim _{x \rightarrow 1} e^{2}=e^{2}
\)
\(\
\lim _{x \rightarrow 1} e^{2}=e^{2}
\)
3. Константу можно вывести из предельного знака:
\(\
\lim _{x \rightarrow a} C f(x)=C \lim _{x \rightarrow a} f(x), C=\mathrm{const}
\)
ПРИМЕР
Вычислить лимит \(\
\lim _{x \rightarrow-1} 3 x^{2}
\)
Согласно свойствам пределов константа может быть выведена из знака предела, то
\(\
\lim _{x \rightarrow-1} 3 x^{2}=3 \cdot \lim _{x \rightarrow-1} x^{2}=3 \cdot(-1)^{2}=3 \cdot 2=3
\)
\(\
\lim _{x \rightarrow-1} 3 x^{2}=3
\)
4. Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций при условии, что последние существуют:
\(\
\lim _{x \rightarrow a} f(x) \cdot g(x)=\lim _{x \rightarrow a} f(x) \cdot \lim _{x \rightarrow a} g(x)
\)
Комментарий. Это свойство выполняется для большего числа факторов:
\(\
\lim _{x \rightarrow a}\left[f_{1}(x) \cdot f_{2}(x) \cdot \ldots \cdot f_{n}(x)\right]=\lim _{x \rightarrow a} f_{1}(x) \cdot \lim _{x \rightarrow a} f_{2}(x) \ldots \cdot \lim _{x \rightarrow a} f_{n}(x)
\)
ПРИМЕР
найти значение предела \(\
\lim _{x \rightarrow 0}(x+1) \sin x
\)
Предел продукта является продуктом пределов, т. е.
\(\
\lim _{x \rightarrow 0}(x+1) \sin x=\lim _{x \rightarrow 0}(x+1) \cdot \lim _{x \rightarrow 0} \sin x=(0+1) \cdot \sin 0=1 \cdot 0=0
\)
\(\
\lim _{x \rightarrow 0}(x+1) \sin x=0
\)
5. Предел частного из двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:
\(\
\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim _{x \rightarrow a} f(x)}{\lim _{x \rightarrow a} g(x)}, \lim _{x \rightarrow a} g(x) \neq 0
\)
ПРИМЕР
Рассчитать
\(\
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x+1}{x+2}
\)
Предел отношения двух функций равен отношению их пределов:
\(\
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x+1}{x+2}=\frac{\lim _{x \rightarrow 2}(x+1)}{\lim _{x \rightarrow 2}(x+2)}=\frac{2+1}{2+2}=\frac{3}{4}
\)
\(\
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x+1}{x+2}=\frac{3}{4}
\)
6. Знак предела можно сделать до степени:
\(\
\lim _{x \rightarrow a}[f(x)]^{p}=\left[\lim _{x \rightarrow a} f(x)\right]^{p}, p \in R
\)
Комментарий. Равенство также имеет место.
\(\
\lim _{x \rightarrow a} \sqrt[р]{f(x)}=\sqrt[р]{\lim _{x \rightarrow a} f(x)}
\)
ПРИМЕР
Найти:\(\
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{x+1}{x+2}\right)^{2}
\)
Мы вводим предел при степени:
\(\
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{x+1}{x+2}\right)^{2}=\left(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x+1}{x+2}\right)^{2}=\left(\frac{0+1}{0+2}\right)^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}
\)
\(\
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{x+1}{x+2}\right)^{2}=\frac{1}{4}
\)
7. Предел может быть указан экспонентом экспоненциальной функции:
\(\
\lim _{x \rightarrow b} a^{f(x)}=a^{\lim _{x \rightarrow b} f(x)}, a>0
\)
ПРИМЕР
результата поиска \(\
\lim _{x \rightarrow-1} 3^{2 x+1}
\)
Положим предел в экспоненте экспоненциальной функции:
\(\
\lim _{x \rightarrow-1} 3^{2 x+1}=3^{\lim _{x \rightarrow-1}(2 x+1)}=3^{2 \cdot(-1)+1}=3^{-2+1}=3^{-1}=\frac{1}{3}
\)
\(\
\lim _{x \rightarrow-1} 3^{2 x+1}=\frac{1}{3}
\)
8. Предел можно сделать для сублогарифмической функции:
\(\
\lim _{x \rightarrow a} \log _{b} f(x)=\log _{b}\left[\lim _{x \rightarrow a} f(x)\right], b>0, b \neq 1
\)
ПРИМЕР
Найти: \(\
\lim _{x \rightarrow 1} \log _{2}(x+1)
\)
Измените лимит и логарифм мест:
\(\
\lim _{x \rightarrow 1} \log _{2}(x+1)=\log _{2} \lim _{x \rightarrow 1}(x+1)=\log _{2}(1+1)=\log _{2} 2=1
\)
\(\
\lim _{x \rightarrow 1} \log _{2}(x+1)=1
\)
9. Теорема о двустороннем ограничении («Теорема о двух полицейских»)
Теорема
Пусть для функций \(\
f(x), g(x), h(x)
\) выполняется неравенство \(\
f(x) \leq g(x) \leq h(x)
\) для всех \(\
x
\), близких к а, кроме, быть может, для самой точки \(\
x=a
\). Тогда, если
\(\
\lim _{x \rightarrow a} f(x)=\lim _{x \rightarrow a} h(x)=A
\)
затем и
\(\
\lim _{x \rightarrow a} g(x)=A
\)
ПРИМЕР
Рассчитать предел
\(\
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{3 x+\cos x}{2 x-7}
\)
для косинуса - это оценка:
\(\
-1 \leq \cos x \leq 1, \forall x
\)
затем
\(\
3 x-1 \leq 3 x+\cos x \leq 3 x+1
\)
Разделим все части полученного неравенства на \(\
2 x-7>0
\), получим:
\(\
\frac{3 x-1}{2 x-7} \leq \frac{3 x+\cos x}{2 x-7} \leq \frac{3 x+1}{2 x-7}
\)
Во всех частях неравенства переходим к пределу в \(\
x \rightarrow+\infty
\) (т. е. Выполняем предельный переход), мы будем иметь:
\(\
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{3 x-1}{2 x-7} \leq \frac{3 x+\cos x}{2 x-7} \leq \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{3 x+1}{2 x-7}
\)
Найдите значение пределов в левой и правой частях последнего неравенства:
\(\
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{3 x-1}{2 x-7}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x\left(3-\frac{1}{x}\right)}{x\left(2-\frac{7}{x}\right)}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{3-\frac{1}{x}}{2-\frac{7}{x}}=\frac{3-0}{2-0}=\frac{3}{2}
\)
\(\
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{3 x+1}{2 x-7}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x\left(3+\frac{1}{x}\right)}{x\left(2-\frac{7}{x}\right)}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{3+\frac{1}{x}}{2-\frac{7}{x}}=\frac{3+0}{2-0}=\frac{3}{2}
\)
Тогда, согласно двусторонней теореме ограничения, заключаем, что искомый предел
\(\
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{3 x+\cos x}{2 x-7}=\frac{3}{2}
\)
\(\
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{3 x+\cos x}{2 x-7}=\frac{3}{2}
\)
10. Одна и та же функция в одной точке может иметь только один предел:
\(\
\lim _{x \rightarrow a} f(x)=a_{1} \wedge \lim _{x \rightarrow a} f(x)=a_{2} \Rightarrow a_{1}=a_{2}
\)