Узнать цену работы
Статьи по теме

Свойства пределов функции

Основные свойства ограничений с примерами

Свойства пределов, которые помогут вам решить проблемы даже с самыми сложными пределами функций и последовательностей, подробно описаны ниже!

1. Предел суммы двух функций равен сумме пределов от каждой из функциональных компонент:

\(\ \lim _{x \rightarrow a}[f(x)+g(x)]=\lim _{x \rightarrow a} f(x)+\lim _{x \rightarrow a} g(x) \)

Комментарий. Это свойство распространяется на большее количество терминов:

\(\ \lim _{x \rightarrow a}\left[f_{1}(x)+f_{2}(x)+\ldots+f_{n}(x)\right]=\lim _{x \rightarrow a} f_{1}(x)+\lim _{x \rightarrow a} f_{2}(x)+\ldots+\lim _{x \rightarrow a} f_{n}(x) \)

ПРИМЕР

  • Задача

    Найти: \(\ \lim _{x \rightarrow 1}\left(x^{2}+x\right) \)

  • Решение.

    Согласно свойству, предел суммы двух функций равен сумме пределов от каждого из них:

    \(\ \lim _{x \rightarrow 1}\left(x^{2}+x\right)=\lim _{x \rightarrow 1} x^{2}+\lim _{x \rightarrow 1} x=1^{2}+1=2 \)

  • Ответ

    \(\ \lim _{x \rightarrow 1}\left(x^{2}+x\right)=2 \)

    2. Предел константы равен самой константе:

    \(\ \lim _{x \rightarrow a} C=C=\mathrm{const} \)

    ПРИМЕР

  • Задача

    Найти: \(\ \lim _{x \rightarrow 1} e^{2} \)

  • Решение.

    Так как выражение \(\ e^{2} \) под знаком предела не зависит от переменной \(\ x \), по которой оно расположено, оно является константой. И тогда, согласно собственности, мы имеем:

    \(\ \lim _{x \rightarrow 1} e^{2}=e^{2} \)

  • Ответ

    \(\ \lim _{x \rightarrow 1} e^{2}=e^{2} \)

    3. Константу можно вывести из предельного знака:

    \(\ \lim _{x \rightarrow a} C f(x)=C \lim _{x \rightarrow a} f(x), C=\mathrm{const} \)

    ПРИМЕР

  • Задача

    Вычислить лимит \(\ \lim _{x \rightarrow-1} 3 x^{2} \)

  • Решение.

    Согласно свойствам пределов константа может быть выведена из знака предела, то

    \(\ \lim _{x \rightarrow-1} 3 x^{2}=3 \cdot \lim _{x \rightarrow-1} x^{2}=3 \cdot(-1)^{2}=3 \cdot 2=3 \)

  • Ответ

    \(\ \lim _{x \rightarrow-1} 3 x^{2}=3 \)

    4. Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций при условии, что последние существуют:

    \(\ \lim _{x \rightarrow a} f(x) \cdot g(x)=\lim _{x \rightarrow a} f(x) \cdot \lim _{x \rightarrow a} g(x) \)

    Комментарий. Это свойство выполняется для большего числа факторов:

    \(\ \lim _{x \rightarrow a}\left[f_{1}(x) \cdot f_{2}(x) \cdot \ldots \cdot f_{n}(x)\right]=\lim _{x \rightarrow a} f_{1}(x) \cdot \lim _{x \rightarrow a} f_{2}(x) \ldots \cdot \lim _{x \rightarrow a} f_{n}(x) \)

    ПРИМЕР

  • Задача

    найти значение предела \(\ \lim _{x \rightarrow 0}(x+1) \sin x \)

  • Решение.

    Предел продукта является продуктом пределов, т. е.

    \(\ \lim _{x \rightarrow 0}(x+1) \sin x=\lim _{x \rightarrow 0}(x+1) \cdot \lim _{x \rightarrow 0} \sin x=(0+1) \cdot \sin 0=1 \cdot 0=0 \)

  • Ответ

    \(\ \lim _{x \rightarrow 0}(x+1) \sin x=0 \)

    5. Предел частного из двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

    \(\ \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim _{x \rightarrow a} f(x)}{\lim _{x \rightarrow a} g(x)}, \lim _{x \rightarrow a} g(x) \neq 0 \)

    ПРИМЕР

  • Задача

    Рассчитать

    \(\ \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x+1}{x+2} \)

  • Решение.

    Предел отношения двух функций равен отношению их пределов:

    \(\ \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x+1}{x+2}=\frac{\lim _{x \rightarrow 2}(x+1)}{\lim _{x \rightarrow 2}(x+2)}=\frac{2+1}{2+2}=\frac{3}{4} \)

  • Ответ

    \(\ \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x+1}{x+2}=\frac{3}{4} \)

    6. Знак предела можно сделать до степени:

    \(\ \lim _{x \rightarrow a}[f(x)]^{p}=\left[\lim _{x \rightarrow a} f(x)\right]^{p}, p \in R \)

    Комментарий. Равенство также имеет место.

    \(\ \lim _{x \rightarrow a} \sqrt[р]{f(x)}=\sqrt[р]{\lim _{x \rightarrow a} f(x)} \)

    ПРИМЕР

  • Задача

    Найти:\(\ \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{x+1}{x+2}\right)^{2} \)

  • Решение.

    Мы вводим предел при степени:

    \(\ \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{x+1}{x+2}\right)^{2}=\left(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x+1}{x+2}\right)^{2}=\left(\frac{0+1}{0+2}\right)^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4} \)

  • Ответ

    \(\ \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{x+1}{x+2}\right)^{2}=\frac{1}{4} \)

    7. Предел может быть указан экспонентом экспоненциальной функции:

    \(\ \lim _{x \rightarrow b} a^{f(x)}=a^{\lim _{x \rightarrow b} f(x)}, a>0 \)

    ПРИМЕР

  • Задача

    результата поиска \(\ \lim _{x \rightarrow-1} 3^{2 x+1} \)

  • Решение

    Положим предел в экспоненте экспоненциальной функции: \(\ \lim _{x \rightarrow-1} 3^{2 x+1}=3^{\lim _{x \rightarrow-1}(2 x+1)}=3^{2 \cdot(-1)+1}=3^{-2+1}=3^{-1}=\frac{1}{3} \)

  • Ответ

    \(\ \lim _{x \rightarrow-1} 3^{2 x+1}=\frac{1}{3} \)

    8. Предел можно сделать для сублогарифмической функции:

    \(\ \lim _{x \rightarrow a} \log _{b} f(x)=\log _{b}\left[\lim _{x \rightarrow a} f(x)\right], b>0, b \neq 1 \)

    ПРИМЕР

  • Задача

    Найти: \(\ \lim _{x \rightarrow 1} \log _{2}(x+1) \)

  • Решение.

    Измените лимит и логарифм мест:

    \(\ \lim _{x \rightarrow 1} \log _{2}(x+1)=\log _{2} \lim _{x \rightarrow 1}(x+1)=\log _{2}(1+1)=\log _{2} 2=1 \)

  • Ответ

    \(\ \lim _{x \rightarrow 1} \log _{2}(x+1)=1 \)

    9. Теорема о двустороннем ограничении («Теорема о двух полицейских»)

    Теорема

    Пусть для функций \(\ f(x), g(x), h(x) \) выполняется неравенство \(\ f(x) \leq g(x) \leq h(x) \) для всех \(\ x \), близких к а, кроме, быть может, для самой точки \(\ x=a \). Тогда, если

    \(\ \lim _{x \rightarrow a} f(x)=\lim _{x \rightarrow a} h(x)=A \)

    затем и

    \(\ \lim _{x \rightarrow a} g(x)=A \)

    ПРИМЕР

  • Задача

    Рассчитать предел

    \(\ \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{3 x+\cos x}{2 x-7} \)

  • Решение

    для косинуса - это оценка:

    \(\ -1 \leq \cos x \leq 1, \forall x \)

    затем

    \(\ 3 x-1 \leq 3 x+\cos x \leq 3 x+1 \)

    Разделим все части полученного неравенства на \(\ 2 x-7>0 \), получим:

    \(\ \frac{3 x-1}{2 x-7} \leq \frac{3 x+\cos x}{2 x-7} \leq \frac{3 x+1}{2 x-7} \)

    Во всех частях неравенства переходим к пределу в \(\ x \rightarrow+\infty \) (т. е. Выполняем предельный переход), мы будем иметь:

    \(\ \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{3 x-1}{2 x-7} \leq \frac{3 x+\cos x}{2 x-7} \leq \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{3 x+1}{2 x-7} \)

    Найдите значение пределов в левой и правой частях последнего неравенства:

    \(\ \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{3 x-1}{2 x-7}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x\left(3-\frac{1}{x}\right)}{x\left(2-\frac{7}{x}\right)}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{3-\frac{1}{x}}{2-\frac{7}{x}}=\frac{3-0}{2-0}=\frac{3}{2} \)

    \(\ \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{3 x+1}{2 x-7}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x\left(3+\frac{1}{x}\right)}{x\left(2-\frac{7}{x}\right)}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{3+\frac{1}{x}}{2-\frac{7}{x}}=\frac{3+0}{2-0}=\frac{3}{2} \)

    Тогда, согласно двусторонней теореме ограничения, заключаем, что искомый предел

    \(\ \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{3 x+\cos x}{2 x-7}=\frac{3}{2} \)

  • Ответ

    \(\ \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{3 x+\cos x}{2 x-7}=\frac{3}{2} \)

    10. Одна и та же функция в одной точке может иметь только один предел:

    \(\ \lim _{x \rightarrow a} f(x)=a_{1} \wedge \lim _{x \rightarrow a} f(x)=a_{2} \Rightarrow a_{1}=a_{2} \)

  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ