Свойства прямоугольного треугольника
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов - прямая линия, то есть \(\
90^{\circ}
\) .
Стороны, смежные с прямым углом, называются ногами, а сторона, противоположная правому углу, называется гипотенузой.
1. Сумма острых углов треугольника равна \(\
90^{\circ}
\) :
\(\
\angle B+\angle C=90^{\circ}
\)
2. Гипотенуза правого треугольника больше, чем каждая из их ног:
\(\
A C < B C
\), \(\
A B < B C
\)
3. Нога, лежащая напротив угла \(\
30^{\circ}
\), равна половине гипотенузы.
4. Две высоты правого треугольника совпадают с его ногами.
5. Центр описанной окружности правого треугольника лежит в середине гипотенузы.
6. Медиана прямоугольного треугольника, взятого из вершины правого угла к гипотенузе, представляет собой радиус окружности, описанной вокруг этого треугольника:
\(\
A M=R
\)
7. Теорема Пифагора. В правом треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов ног:
\(\
A C^{2}+A B^{2}=B C^{2}
\)
Примеры решения проблем
ПРИМЕР 1
В правом треугольнике \(\
\mathrm{ABC}
\) гипотенуза \(\
BC
\) составляет 6 см и \(\
\angle B=60^{\circ}
\) . Найдите ногу \(\
AB
\).
В правом треугольнике сумма острых углов равна \(\
90^{\circ}
\) , что означает
\(\
\angle C=90^{\circ}-\angle B=30^{\circ}
\)
Также известно, что нога, расположенная напротив угла \(\
30^{\circ}
\) , равна половине гипотенузы, т.е.
\(\
A B=\frac{B C}{2}=3 \mathrm{см}
\)
ПРИМЕР 2
В треугольнике \(\
\mathrm{ABC}
\) угол \(\
A
\) прямой, \(\
A B=3 \mathrm{см}
\), \(\
AC=4 \mathrm{см}
\). Найдите радиус окружности, описанной вблизи \(\
\Delta A B C
\)
треугольника \(\
A B C
\) является прямоугольным, что означает, что гипотенуза \(\
\mathrm{BC}
\) может быть найдена по теореме Пифагора:
\(\
B C=\sqrt{A C^{2}+A B^{2}}=\sqrt{9+16}=5 \mathrm{см}
\)
Центр описанной окружности правого треугольника лежит посреди гипотенузы, поэтому,
\(\
R=\frac{B C}{2}=\frac{5}{2}=2,5 \mathrm{см}
\)
Свойства правого треугольника: