Свойства равностороннего треугольника
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.
Двусторонние треугольники обладают следующими свойствами:
1. В равностороннем треугольнике все углы равны друг другу и равны \(\
60^{\circ}
\) :
\(\
\angle A=\angle B=\angle C=60^{\circ}
\)
2. В равностороннем треугольнике высоты, биссектрисы, медианы и срединные перпендикуляры пересекаются в одной точке, которая называется центром равностороннего треугольника.
3. Центр равностороннего треугольника является центром вписанных и описанных кругов.
4. В равностороннем треугольнике радиус окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности.
5. В равностороннем треугольнике со стороной \(\
a
\) радиус описанной окружности равен
\(\
R=\frac{a \sqrt{3}}{3}
\)
6. Радиус вписанной окружности равен
\(\
r=\frac{a \sqrt{3}}{6}
\)
7. Высота, совпадающая с медианными и биссектрисами, равна
\(\
h=\frac{a \sqrt{3}}{2}
\)
8. Площадь равностороннего треугольника равна
\(\
S=\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}
\)
Примеры решения проблем
ПРИМЕР 1
В равностороннем треугольнике \(\
\mathrm{ABC}
\) мы провели высоту \(\
\mathrm{BK}=6 \mathrm{см}
\). Найдите сторону этого треугольника.
Поскольку треугольник \(\
ABC
\) равносторонний, его высота
\(\
B K=\frac{A C \sqrt{3}}{2}=6
\)
Из последнего равенства выражаем
\(\
A C=\frac{2 \cdot 6}{\sqrt{3}}=4 \sqrt{3} \mathrm{cm}
\)
\(\
A C=4 \sqrt{3}
\)
ПРИМЕР 2
В равностороннем треугольнике \(\
\mathrm{ABC}
\) медиана \(\
\mathrm{AM}=9 \mathrm{см}
\). Найдите радиус окружности.
Радиус описанной окружности \(\
\mathrm{AO}
\) в равностороннем треугольнике \(\
ABC
\) рассчитывается следующим образом:
\(\
A O=\frac{A C \sqrt{3}}{3}
\)
и сторона треугольника связана со средой следующим соотношением
\(\
A M=\frac{A C \sqrt{3}}{2}
\)
Это следует из того
\(\
A O=\frac{2 A M \sqrt{3}}{3 \sqrt{3}}=6 \mathrm{см}
\)
\(\
A O=6 \mathrm{см}
\)