Свойства средней линии треугольника
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Средняя линия треугольника - это сегмент, соединяющий середины двух сторон.
Свойства треугольника треугольника
Средняя линия треугольника параллельна одной стороне и равна половине ее. Например, на картинке
\(\
K N \| A C
\), \(\
K N=\frac{1}{2} A C
\)
В любом треугольнике есть три средние линии, на пересечении которых образуются 4 равных треугольника, аналогичные исходным с коэффициентом 1/2.
Средняя линия обрезает треугольник, который похож на этот, и его площадь равна одной четверти исходного треугольника.
Примеры решения проблем
ПРИМЕР 1
В треугольнике \(\
A B C
\) со сторонами \(\
A B=5 \mathrm{см}
\), \(\
B=7 \mathrm{см}
\) и \(\
A C=8 \mathrm{см}
\), были вычерчены средние линии \(\
\mathrm{KN}
\), \(\
\mathrm{NL}
\) и \(\
\mathrm{KL}
\). Найдите периметр треугольника \(\
\mathrm{KNL}
\).
Поскольку средняя линия равна половине стороны, в которой она параллельна, мы можем найти длины всех средних линий:
\(\
K N=\frac{1}{2} A C=4 \mathrm{см}
\), \(\
N L=\frac{1}{2} A B=2,5 \mathrm{см}
\), \(\
K L=\frac{1}{2}=3,5 \mathrm{cm}
\)
Теперь вы можете найти периметр треугольника \(\
\mathrm{KNL}
\) как сумму длин всех его сторон:
\(\
P_{K N L}=K N+N L+K L=4+2,5+3,5=10 \mathrm{см}
\)
\(\
P_{K N L}=10
\)
ПРИМЕР 2
В треугольнике \(\
A B C
\) со стороной \(\
A C=7 \mathrm{см}
\) и высотой \(\
\mathrm{BK}=4 \mathrm{см}
\) центральная линия \(\
\mathrm{MN}
\) была проведена параллельно стороне \(\
\mathrm{AC}
\). Найдите область треугольника \(\
\mathrm{MBN}
\).
Средняя линия \(\
\mathrm{MN}
\) разрезает треугольник \(\
\mathrm{MBN}
\), площадь которого равна одной четверти исходного треугольника \(\
\mathrm{ABC}
\). Найдите область треугольника \(\
\mathrm{ABC}
\):
\(\
S_{A B C}=\frac{1}{2} A C \cdot B K=\frac{1}{2} 7 \cdot 4=14 \mathrm{cm}^{2}
\)
Тогда площадь треугольника \(\
\mathrm{MBN}
\) равна:
\(\
S_{M B N}=\frac{1}{4} S_{A B C}=\frac{1}{4} \cdot 14=3,5 \mathrm{cm}^{2}
\)
\(\
S_{M B N}=3,5
\)