Узнать цену работы
Статьи по теме

Свойства трапеции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Трапеция представляет собой четырехугольник, в котором одна пара противоположных сторон параллельна, а две другие стороны не параллельны.

Параллельные стороны называются основаниями трапеции. Другие две стороны называются ее сторонами. Сегмент, соединяющий середины сторон, называется центральной линией трапеции.

Трапеция, стороны которой равны, называется равносторонней (равнобедренной) трапецией. Трапеция, в которой, с одной стороны, прямые углы называются прямоугольными.

Трапецеидальные свойства

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

2. Сегмент, соединяющий середины диагоналей, равен половине разности оснований и лежит на центральной линии.

3. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения расширений ее боковых сторон и середины оснований лежит на одной прямой.

4. Треугольники, образованные на пересечении диагоналей и лежащие на основаниях трапеции, например:

\(\ \Delta A O D \sim \Delta B O C \)

5. Треугольники, образованные на пересечении диагоналей и лежащие по сторонам трапеции, одинаково велики:

\(\ S_{\Delta A O B}=S_{\Delta D O C} \)

6. Если трапеция равносторонняя, то ее диагонали равны, а углы у основания равны.

7. Если трапеция равносторонна, то вокруг нее можно описать круг.

8. Если сумма оснований трапеции равна сумме сторон, то в нее можно ввести круг.

9. Площадь трапеции рассчитывается по формуле

\(\ S=\frac{a+b}{2} \cdot h \)

где \(\ a \), \(\ b \) - основания трапеции, \(\ h \) - высота трапеции.

10. Если круг радиуса \(\ \mathrm{R} \) вписан в трапецию и он делит сторону на точку касания на два сегмента длины \(\ a \) и \(\ b \), то

\(\ R=\sqrt{a b} \)

Примеры решения проблем

ПРИМЕР 1

  • Задача

    Основание трапеции \(\ A B C D \) составляет 3 см и 9 см. Найдите длину сегмента \(\ \mathrm{PK} \), соединяющего середины диагоналей трапеции.

  • Решение.

    Сегмент \(\ \mathrm{PK} \), соединяющий середины диагоналей \(\ \mathrm{AC} \) и \(\ B D \), лежит на центральной линии трапеции. Длина этого отрезка равна полуразности оснований, т. е.

    \(\ P K=\frac{A D-B C}{2}=3 \mathrm{cm} \)

  • Ответ

    \(\ \Pi \mathrm{K}=3 \mathrm{см} \)

    ПРИМЕР 2

    Задача В трапеции \(\ \mathrm{ABCD} \) верхнее основание равно 5 см, а нижнее - 10 см. Диагональ трапецеидальной линии делит диагональ на какие сегменты.

    Решение. Нарисуем трапецию \(\ \triangle B C D \) средней линией \(\ \mathrm{MN} \), которая равна полусуммам оснований:

    \(\ M N=\frac{A D+B C}{2}=7,5 \mathrm{cm} \)

    Диагональ \(\ A C \) пересекает \(\ \mathrm{MN} \) в точке \(\ \mathrm{O} \). Рассмотрим \(\ \Delta A B C \) и (\(\ \Delta A C D \) . Сегменты \(\ \mathrm{MO} \) и \(\ \mathrm{ON} \) являются средними линиями этих треугольников, что означает

    \(\ M O=\frac{1}{2} B C=2,5 \mathrm{см}\); \(\ O N=\frac{1}{2} A D=5 \mathrm{см} \)

  • Ответ

    \(\ \mathrm{MO}=2,5 \mathrm{cm} \), \(\ \mathrm{ON}=5 \mathrm{cm} \)

  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ