Узнать цену работы
Статьи по теме

Свойства треугольников

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Треугольник представляет собой геометрическую фигуру, состоящую из трех точек и трех сегментов, соединяющих их попарно.

Все свойства треугольников

В любом треугольнике есть три угла и три стороны.

Сумма углов любого треугольника равна \(\ 180^{\circ} \)

Против большего угла треугольника лежит большая сторона.

Треугольники острые (если все его углы острые), тупые (если один из его углов тупой), прямоугольный (если один из его углов является прямой линией).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Треугольник называется равнобедренным, если его две стороны равны.

Треугольник называется равносторонним, если все три стороны равны.

Основные линии треугольника

Медиана треугольника представляет собой отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектрисом угла треугольника является луч, исходящий из вершины треугольника и делящий его пополам.

Высота треугольника называется перпендикуляром, отбрасываемым от вершины треугольника к противоположной стороне (или ее продолжению).

Средняя линия треугольника - это сегмент, соединяющий середины двух сторон треугольника и параллельный третьей стороне.

Круг может быть вписан в любой треугольник, и круг может быть описан вокруг любого треугольника.

Два треугольника называются равными, если они имеют равные стороны и соответствующие углы.

  • Знаки равенства треугольников

    I знак Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

    Знак II. Если сторона и углы одного соседнего с ней треугольника равны соответственно стороне и углам соседнего с ней треугольника, то такие треугольники равны.

    III. Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

    Треугольники называются подобными, если их стороны пропорциональны.

  • Признаки сходства треугольников

    1. Если два угла одного раневого треугольника находятся в двух углах другого треугольника, то такие треугольники похожи.

    2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники схожи.

    3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники похожи.

    Косинус-теорема. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус дважды произведение этих сторон на косинус угла между ними:

    \(\ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos (a ; b) \)

    Узнайте больше о теореме косинуса по ссылке.

    Теорема Синуса. Стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов. Коэффициент пропорциональности равен диаметру окружности (обобщенная теорема синуса):

    \(\ \frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma}=2 R \)

    Подробнее о связи синуса.

  • Площадь треугольника можно вычислить по формулам

    1. Через высоту и основание

    \(\ S=\frac{1}{2} a \cdot h \)

    2. С двух сторон и угла между ними.

    \(\ S=\frac{1}{2} a \cdot b \sin \alpha \)

    3. Согласно формуле Герона

    \(\ S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \)

    где p - полу-периметр треугольника

    4. Через радиусы вписанных и описанных кругов

    \(\ S=r p \)

    где \(\ \mathrm{p} \) - полу периметр треугольника, \(\ \mathrm{r} \) - радиус вписанной окружности;

    \(\ S=\frac{a b c}{4 R} \)

    \(\ R \) - радиус описанной окружности.

    Примеры решения проблем

    ПРИМЕР 1

  • Задача

    В треугольнике \(\ A B C \) с \(\ \angle A=45^{\circ} \) высота \(\ \mathrm{BK} \) делит основание на 4 см и 7 см сегментов. Найдите область треугольника \(\ A B C \).

  • Решение

    Высота \(\ \mathrm{BK} \) делит основание на сегменты \(\ A K=4 \mathrm{см} \) и \(\ \mathrm{KC}=7 \mathrm{см} \), следовательно, \(\ \mathrm{AC}=\mathrm{AK}+\mathrm{KC}=11 \mathrm{см} \).

    Рассмотрим правый треугольник \(\ \mathrm{ABK} \). Найти \(\ \mathrm{BK} \):

    \(\ BK=A K \cdot \operatorname{tg} \angle A=4 \mathrm{см} \)

    Площадь треугольника \(\ \mathrm{ABC} \) найдет формулу через основание и высоту:

    \(\ S=\frac{1}{2} A C \cdot B K=\frac{1}{2} \cdot 11 \cdot 4=22 \mathrm{см}^{2} \)

  • Ответ

    \(\ S=22 \)

    ПРИМЕР 2

  • Задача

    В треугольнике \(\ \mathrm{ABC} \) сторона \(\ A B=4 \mathrm{см} \), \(\ A=8 \mathrm{см} \) и \(\ \angle A=60^{\circ} \) . Найдите все стороны и все углы треугольника.

  • Решение

    Найдите сторону \(\ \mathrm{BC} \). Для этого мы используем теорему косинуса:

    \(\ B C^{2}=A B^{2}+A C^{2}-2 A B \cdot A C \cdot \cos \angle A \)

    откуда \(\ B C=\sqrt{4^{2}+8^{2}-2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2}}=\sqrt{48}=4 \sqrt{3} \)

    Найдите углы треугольника, используя теорему синуса:

    \(\ \frac{A B}{\sin \angle C}=\frac{A C}{\sin \angle B}=\frac{B C}{\sin \angle A} \)

    Отсюда

    \(\ \ \sin \angle C=\frac{A B}{B C} \sin \angle A=\frac{4}{4 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2} \Rightarrow \angle C=60^{\circ} \)

    Далее мы найдем \(\ \angle B \):

    \(\ \angle B=180^{\circ}-\angle A-\angle C=180^{\circ}-30^{\circ}-60^{\circ}=90^{\circ} \)

  • Ответ

    \(\ B C=4 \sqrt{3} \mathrm{cm} \), \(\ \angle C=60^{\circ} \), \(\ \angle B=90^{\circ} \)

  • Узнать цену работы

    Узнай цену

    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ