Узнать цену работы
Статьи по теме

Свойства тригонометрических функций

Свойства синуса

Область определения – множество всех действительных чисел.

Область изменения (множество значений) – отрезок \(\ [-1,1] \)

Функция \(\ \sin x \) – нечетная, то есть \(\ \sin (-x)=-\sin x \)

Функция периодическая, с периодом \(\ 2 \pi : \sin (x+2 \pi)=\sin x \)

Нули функции: \(\ \sin x=0 \)

Промежутки знакопостоянства \(\ \sin x>0 \), \(\ x \in(2 \pi n, \pi+2 \pi n) \), \(\ n \in Z \sin x<0 \), \(\ x \in(\pi+2 \pi n, 2 \pi+2 \pi n) \), \(\ n \in Z \)

Функция \(\ \sin x \) непрерывная и имеет производную при любом значении аргумента: \(\ (\sin x)^{\prime}=\cos x \)

Функция \(\ \sin x \) возрастает при \(\ x \in\left(-\frac{\pi}{2}+2 \pi n, \frac{\pi}{2}+2 \pi n\right) \), \(\ n \in Z \) и убывает при \(\ x \in\left(\frac{\pi}{2}+2 \pi n, \frac{3 \pi}{2}+2 \pi n\right) \), \(\ n \in Z \)

Функция \(\ \sin x \) имеет минимальные значения, равные \(\ -1 \), при \(\ x=-\frac{\pi}{2}+2 \pi n \),\(\ n \in Z \) и максимальные значение равные 1, при \(\ x=\frac{\pi}{2}+2 \pi n \), \(\ n \in Z \)

Подробнее про синус угла читайте по ссылке.

Свойства косинуса

Область определения – множество всех действительных чисел.

Область изменения (множество значений) – отрезок \(\ [-1,1] \)

Функция \(\ \cos x \) – четная, то есть \(\ \cos (-x)=\cos x \)

Функция периодическая, с периодом \(\ 2 \pi : \cos (x+2 \pi)=\cos x \)

Нули функции: \(\ \cos x=0 \) при \(\ x=\frac{\pi}{2}+\pi n \), \(\ n \in Z \)

Промежутки знакопостоянства \(\ \cos x>0 \), \(\ x \in\left(-\frac{\pi}{2}+2 \pi n, \frac{\pi}{2}+2 \pi n\right) \), \(\ n \in Z^{\cos x<0} \), \(\ x \in\left(\frac{\pi}{2}+2 \pi n, \frac{3 \pi}{2}+2 \pi n\right) \), \(\ n \in Z \)

Функция \(\ \cos x \) непрерывная и имеет производную в любом значении аргумента \(\ (\cos x)^{\prime}=-\sin x \)

Функция \(\ \cos x \) возрастает при \(\ x \in(-\pi+2 \pi n, 2 \pi n) \), \(\ n \in Z \) и убывает при \(\ x \in(2 \pi n, \pi+2 \pi n) \), \(\ n \in Z \)

Минимальные значения функции \(\ \cos x \) равные \(\ -1 \) принимает при \(\ x=\pi+2 \pi n \), \(\ n \in Z \) а максимальные значение равные 1, при \(\ x=2 \pi n \), \(\ n \in Z \)

Подробнее про косинус угла читайте по ссылке.

Свойства тангенса

Область определения – множество всех действительных чисел, кроме чисел \(\ x=\frac{\pi}{2}+\pi n \), \(\ n \in Z \)

Область изменения (множество значений) – множество всех действительных чисел.

Функция \(\ \operatorname{tg} x \) – нечетная, то есть \(\ \operatorname{tg}(-x)=-\operatorname{tg} x \)

Функция периодическая, её период равен \(\ \pi : \operatorname{tg}(x+\pi)=\operatorname{tg} x \)

Нули функции: \(\ \operatorname{tg} x=0 \) при \(\ x=\pi n, n \in Z \)

Промежутки знакопостоянства \(\ \operatorname{tg} x>0 \), \(\ x \in\left(\pi n, \frac{\pi}{2}+\pi n\right) \), \(\ x \in\left(\pi n, \frac{\pi}{2}+\pi n\right) \), \(\ \in Z \)

Функция \(\ \operatorname{tg} x \) непрерывная и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения функции: \(\ (\operatorname{tg} x)^{\prime}=\frac{1}{\cos ^{2} x} \)

Функция \(\ \operatorname{tg} x \) возрастает в каждом из промежутков \(\ \left(-\frac{\pi}{2}+\pi n, \frac{\pi}{2}+\pi n\right) \), \(\ n \in Z \)

Свойства котангенса

Область определения – множество всех действительных чисел, кроме чисел \(\ x=\pi n \), \(\ \in Z \)

Область изменения (множество значений) – множество всех действительных чисел.

Функция \(\ \operatorname{ctg} x \) – нечетная, то есть \(\ \operatorname{ctg}(-x)=-\operatorname{ctg} x \)

Функция периодическая, её период равен \(\ \pi : \operatorname{ctg}(x+\pi)=\operatorname{ctg} x \)

Нули функции: \(\ \operatorname{ctg} x=0 \) при \(\ x=\frac{\pi}{2}+\pi n, \in Z \)

Промежутки знакопостоянства \(\ \operatorname{ctg} x>0 \), \(\ x \in\left(\pi n, \frac{\pi}{2}+\pi n\right) \), \(\ n \in Z \operatorname{ctg} x<0 \), \(\ x \in\left(\frac{\pi}{2}+\pi n, \pi(n+1)\right) \), \(\ n \in Z \)

Функция \(\ \operatorname{ctg} x \) непрерывная и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения функции: \(\ (\operatorname{ctg} x)^{\prime}=-\frac{1}{\sin ^{2} x} \)

Функция \(\ \operatorname{ctg} x \) убывает в каждом из промежутков \(\ (\pi n, \pi(n+1)), \in Z \)

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

  • Задание

    Найти область значений функции \(\ y=3-5 \cos x \)

  • Решение

    Область определения косинуса \(\ -1 \leq \cos x \leq 1 \)

    Далее воспользуемся свойствами числовых неравенств и умножим каждую часть последнего двойного неравенства на \(\ -5 \) и так как мы умножаем на отрицательное число, то знаки неравенства изменятся на противоположные: \(\ 5 \geq-5 \cos x \geq-5 \)

    или \(\ -5 \leq-5 \cos x \leq 5 \)

    Ко всем частям последнего неравенства прибавим 3 \(\ 3-5 \leq 3-5 \cos x \leq 3+5 \)

    или \(\ -2 \leq-5 \cos x \leq 8 \)

    Так как данная функция непрерывна на всей области определения, то множество ее значений заключено между наименьшим и наибольшим ее значением на всей области определения, если таковые существуют. В данном случае, множество значений функции \(\ y=3-5 \cos x \) есть \(\ [-2 ; 8] \)

  • Ответ\(\ y \in[-2 ; 8] \)

    ПРИМЕР 2

  • Задание

    Найти «нули» функции \(\ y=0,5 \cdot \operatorname{tg} 3 x \) на промежутке \(\ \left[-\pi ; \frac{\pi}{2}\right] \) и записать их сумму.

  • Решение<

    Для нахождения «нулей» данной функции необходимо найти те значения x, при которых \(\ y=0 \) Приравняем правую часть функции к нулю, получим: \(\ 0,5 \cdot \operatorname{tg} 3 x=0 \quad \Rightarrow \quad \operatorname{tg} 3 x=0 \)

    По свойству тангенса \(\ \operatorname{tg} x=0 \) тогда при \(\ x=\pi n, n \in Z \) ; тогда \(\ 3 x=\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi \pi}{3}, \quad n \in Z \)

    Из этих значений в промежуток \(\ \left[\begin{array}{cc}{-\pi ;} & {\frac{\pi}{2}}\end{array}\right] \) попадают значения: \(\ -\pi \); \(\ -\frac{2 \pi}{3} \); \(\ -\frac{\pi}{3} \); \(\ 0 \); \(\ \frac{\pi}{3} \)

    Найдем их сумму: \(\ -\pi+\left(-\frac{2 \pi}{3}\right)+\left(-\frac{\pi}{3}\right)+0+\frac{\pi}{3}=-\frac{2 \pi}{3} \)

  • Ответ\(\ -\frac{8 \pi}{3} \)

    ПРИМЕР 3

  • Задание

    Для функции \(\ y=\cos \left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{4}\right) \)найти точку максимума на промежутке

  • Решение

    Функция \(\ y=\cos x \) принимает максимальное значение, когда аргумент \(\ x=2 \pi n \) . Так как заданная функция имеет сложный аргумент, необходимо приравнять его к \(\ 2 \pi n n \) и из полученного выражения найти \(\ x \)

    \(\ \frac{x}{3}+\frac{\pi}{4}=2 \pi n \)

    Только при \(\ n=1 \) получаем значение \(\ x=-\frac{3 \pi}{4}+6 \pi \quad \Rightarrow \quad x=5,25 \pi \) , которое принадлежат промежутку \(\ [0 ; 6 \pi] \)

  • Ответ\(\ x=5,25 \pi \)

    ПРИМЕР 4

  • Задание

    Найти промежутки возрастания функции \(\ y=\sin \left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{6}\right) \)

  • Решение

    Функция \(\ \sin x \) возрастает \(\ x \in\left(-\frac{\pi}{2}+2 \pi n, \frac{\pi}{2}+2 \pi n\right), n \in Z \),то есть когда \(\ -\frac{\pi}{2}+2 \pi n < x<\frac{\pi}{2}+2 \pi n \)

    Используя свойством неравенств, разделим все части последнего неравенства на 3, получим: \(\ -\frac{\pi}{6}+\frac{2 \pi n}{3}<\frac{x}{3}<\frac{\pi}{6}+\frac{2 \pi n}{3} \)

    Далее к каждой части полученного неравенства прибавим \(\ \frac{2 \pi n}{6} : \frac{2 \pi n}{3}<\frac{x}{3}+\frac{\pi}{6}<\frac{\pi}{3}+\frac{2 \pi n}{3} \)

    Таким образом, функция \(\ y=\sin \left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{6}\right) \) возрастает на промежутке \(\ \in\left(\frac{2 \pi n}{3}, \frac{\pi}{3}+\frac{2 \pi n}{3}\right) \)

  • Ответ\(\ x \in\left(\frac{2 \pi n}{3}, \frac{\pi}{3}+\frac{2 \pi n}{3}\right) \)
  • Узнать цену работы

    Узнай цену

    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ