Свойства тригонометрических функций
Свойства синуса
Область определения – множество всех действительных чисел.
Область изменения (множество значений) – отрезок \(\
[-1,1]
\)
Функция \(\
\sin x
\) – нечетная, то есть \(\
\sin (-x)=-\sin x
\)
Функция периодическая, с периодом \(\
2 \pi : \sin (x+2 \pi)=\sin x
\)
Нули функции: \(\
\sin x=0
\)
Промежутки знакопостоянства
\(\
\sin x>0
\), \(\
x \in(2 \pi n, \pi+2 \pi n)
\), \(\
n \in Z \sin x<0
\), \(\
x \in(\pi+2 \pi n, 2 \pi+2 \pi n)
\), \(\
n \in Z
\)
Функция \(\
\sin x
\) непрерывная и имеет производную при любом значении аргумента:
\(\
(\sin x)^{\prime}=\cos x
\)
Функция \(\
\sin x
\) возрастает при \(\
x \in\left(-\frac{\pi}{2}+2 \pi n, \frac{\pi}{2}+2 \pi n\right)
\), \(\
n \in Z
\) и убывает при \(\
x \in\left(\frac{\pi}{2}+2 \pi n, \frac{3 \pi}{2}+2 \pi n\right)
\), \(\
n \in Z
\)
Функция \(\
\sin x
\) имеет минимальные значения, равные \(\
-1
\), при \(\
x=-\frac{\pi}{2}+2 \pi n
\),\(\
n \in Z
\) и максимальные значение равные 1, при \(\
x=\frac{\pi}{2}+2 \pi n
\), \(\
n \in Z
\)
Подробнее про синус угла читайте по ссылке.
Свойства косинуса
Область определения – множество всех действительных чисел.
Область изменения (множество значений) – отрезок \(\
[-1,1]
\)
Функция \(\
\cos x
\) – четная, то есть \(\
\cos (-x)=\cos x
\)
Функция периодическая, с периодом \(\
2 \pi : \cos (x+2 \pi)=\cos x
\)
Нули функции: \(\
\cos x=0
\) при \(\
x=\frac{\pi}{2}+\pi n
\), \(\
n \in Z
\)
Промежутки знакопостоянства
\(\
\cos x>0
\), \(\
x \in\left(-\frac{\pi}{2}+2 \pi n, \frac{\pi}{2}+2 \pi n\right)
\), \(\
n \in Z^{\cos x<0}
\), \(\
x \in\left(\frac{\pi}{2}+2 \pi n, \frac{3 \pi}{2}+2 \pi n\right)
\), \(\
n \in Z
\)
Функция \(\
\cos x
\) непрерывная и имеет производную в любом значении аргумента
\(\
(\cos x)^{\prime}=-\sin x
\)
Функция \(\
\cos x
\) возрастает при \(\
x \in(-\pi+2 \pi n, 2 \pi n)
\), \(\
n \in Z
\) и убывает при \(\
x \in(2 \pi n, \pi+2 \pi n)
\), \(\
n \in Z
\)
Минимальные значения функции \(\
\cos x
\) равные \(\
-1
\) принимает при \(\
x=\pi+2 \pi n
\), \(\
n \in Z
\) а максимальные значение равные 1, при \(\
x=2 \pi n
\), \(\
n \in Z
\)
Подробнее про косинус угла читайте по ссылке.
Свойства тангенса
Область определения – множество всех действительных чисел, кроме чисел \(\
x=\frac{\pi}{2}+\pi n
\), \(\
n \in Z
\)
Область изменения (множество значений) – множество всех действительных чисел.
Функция \(\
\operatorname{tg} x
\) – нечетная, то есть \(\
\operatorname{tg}(-x)=-\operatorname{tg} x
\)
Функция периодическая, её период равен \(\
\pi : \operatorname{tg}(x+\pi)=\operatorname{tg} x
\)
Нули функции: \(\
\operatorname{tg} x=0
\) при \(\
x=\pi n, n \in Z
\)
Промежутки знакопостоянства
\(\
\operatorname{tg} x>0
\), \(\
x \in\left(\pi n, \frac{\pi}{2}+\pi n\right)
\), \(\
x \in\left(\pi n, \frac{\pi}{2}+\pi n\right)
\), \(\
\in Z
\)
Функция \(\
\operatorname{tg} x
\) непрерывная и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения функции:
\(\
(\operatorname{tg} x)^{\prime}=\frac{1}{\cos ^{2} x}
\)
Функция \(\
\operatorname{tg} x
\) возрастает в каждом из промежутков \(\
\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n, \frac{\pi}{2}+\pi n\right)
\), \(\
n \in Z
\)
Свойства котангенса
Область определения – множество всех действительных чисел, кроме чисел \(\
x=\pi n
\), \(\
\in Z
\)
Область изменения (множество значений) – множество всех действительных чисел.
Функция \(\
\operatorname{ctg} x
\) – нечетная, то есть \(\
\operatorname{ctg}(-x)=-\operatorname{ctg} x
\)
Функция периодическая, её период равен \(\
\pi : \operatorname{ctg}(x+\pi)=\operatorname{ctg} x
\)
Нули функции: \(\
\operatorname{ctg} x=0
\) при \(\
x=\frac{\pi}{2}+\pi n, \in Z
\)
Промежутки знакопостоянства
\(\
\operatorname{ctg} x>0
\), \(\
x \in\left(\pi n, \frac{\pi}{2}+\pi n\right)
\), \(\
n \in Z \operatorname{ctg} x<0
\), \(\
x \in\left(\frac{\pi}{2}+\pi n, \pi(n+1)\right)
\), \(\
n \in Z
\)
Функция \(\
\operatorname{ctg} x
\) непрерывная и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения функции:
\(\
(\operatorname{ctg} x)^{\prime}=-\frac{1}{\sin ^{2} x}
\)
Функция \(\
\operatorname{ctg} x
\) убывает в каждом из промежутков \(\
(\pi n, \pi(n+1)), \in Z
\)
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
Найти область значений функции \(\
y=3-5 \cos x
\)
Область определения косинуса
\(\
-1 \leq \cos x \leq 1
\)
Далее воспользуемся свойствами числовых неравенств и умножим каждую часть последнего двойного неравенства на \(\
-5
\) и так как мы умножаем на отрицательное число, то знаки неравенства изменятся на противоположные:
\(\
5 \geq-5 \cos x \geq-5
\)
или
\(\
-5 \leq-5 \cos x \leq 5
\)
Ко всем частям последнего неравенства прибавим 3
\(\
3-5 \leq 3-5 \cos x \leq 3+5
\)
или
\(\
-2 \leq-5 \cos x \leq 8
\)
Так как данная функция непрерывна на всей области определения, то множество ее значений заключено между наименьшим и наибольшим ее значением на всей области определения, если таковые существуют. В данном случае, множество значений функции \(\
y=3-5 \cos x
\) есть \(\
[-2 ; 8]
\)
ПРИМЕР 2
Найти «нули» функции \(\
y=0,5 \cdot \operatorname{tg} 3 x
\) на промежутке \(\
\left[-\pi ; \frac{\pi}{2}\right]
\) и записать их сумму.
Для нахождения «нулей» данной функции необходимо найти те значения x, при которых \(\
y=0
\) Приравняем правую часть функции к нулю, получим:
\(\
0,5 \cdot \operatorname{tg} 3 x=0 \quad \Rightarrow \quad \operatorname{tg} 3 x=0
\)
По свойству тангенса \(\
\operatorname{tg} x=0
\) тогда при \(\
x=\pi n, n \in Z
\) ; тогда
\(\
3 x=\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi \pi}{3}, \quad n \in Z
\)
Из этих значений в промежуток \(\
\left[\begin{array}{cc}{-\pi ;} & {\frac{\pi}{2}}\end{array}\right]
\) попадают значения:
\(\
-\pi
\); \(\
-\frac{2 \pi}{3}
\); \(\
-\frac{\pi}{3}
\); \(\
0
\); \(\
\frac{\pi}{3}
\)
Найдем их сумму: \(\
-\pi+\left(-\frac{2 \pi}{3}\right)+\left(-\frac{\pi}{3}\right)+0+\frac{\pi}{3}=-\frac{2 \pi}{3}
\)
ПРИМЕР 3
Для функции \(\
y=\cos \left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{4}\right)
\)найти точку максимума на промежутке
Функция \(\
y=\cos x
\) принимает максимальное значение, когда аргумент \(\
x=2 \pi n
\) . Так как заданная функция имеет сложный аргумент, необходимо приравнять его к \(\
2 \pi n n
\) и из полученного выражения найти \(\
x
\)
\(\
\frac{x}{3}+\frac{\pi}{4}=2 \pi n
\)
Только при \(\
n=1
\) получаем значение \(\
x=-\frac{3 \pi}{4}+6 \pi \quad \Rightarrow \quad x=5,25 \pi
\) , которое принадлежат промежутку \(\
[0 ; 6 \pi]
\)
ПРИМЕР 4
Найти промежутки возрастания функции \(\
y=\sin \left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{6}\right)
\)
Функция \(\
\sin x
\) возрастает \(\
x \in\left(-\frac{\pi}{2}+2 \pi n, \frac{\pi}{2}+2 \pi n\right), n \in Z
\),то есть когда
\(\
-\frac{\pi}{2}+2 \pi n < x<\frac{\pi}{2}+2 \pi n
\)
Используя свойством неравенств, разделим все части последнего неравенства на 3, получим:
\(\
-\frac{\pi}{6}+\frac{2 \pi n}{3}<\frac{x}{3}<\frac{\pi}{6}+\frac{2 \pi n}{3}
\)
Далее к каждой части полученного неравенства прибавим \(\
\frac{2 \pi n}{6} : \frac{2 \pi n}{3}<\frac{x}{3}+\frac{\pi}{6}<\frac{\pi}{3}+\frac{2 \pi n}{3}
\)
Таким образом, функция \(\
y=\sin \left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{6}\right)
\) возрастает на промежутке \(\
\in\left(\frac{2 \pi n}{3}, \frac{\pi}{3}+\frac{2 \pi n}{3}\right)
\)