Узнать цену работы
Статьи по теме

Свойства векторов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Вектор представляет собой направленный сегмент, который обозначается \(\ A B \) (начиная с точки \(\ A \), заканчивается в точке \(\ B \)) или \(\ \overline{a} \)

Если концы вектора задаются по их координатам в пространстве \(\ A=\left(a_

Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
, a_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
, a_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\right) \), \(\ B=\left(b_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
, b_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
, b_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\right) \) , то координаты вектора

\(\ A B=\left(b_

Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
-a_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
, b_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
-a_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
, b_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
-a_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\right) \)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Модуль (длина) вектора \(\ \overline{c}=\left(c_

Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
, c_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
, c_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\right) \) представляет собой число, равное расстоянию от начала до конца вектора, оно вычисляется по формуле:

\(\ \overline{c}=\sqrt{c_

Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
^
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
+c_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
^
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
+c_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
^
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
} \)

Вектор называется одиночным, если его длина равна единице. Вектор называется нулевым, если его длина равна нулю.

Векторы \(\ \overline{a} \) и \(\ \overline{b} \) называются коллинеарными, если они либо лежат на одной прямой, либо на параллельных прямых.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Суммой векторов \(\ \overline{a} \) и \(\ \overline{b} \) (конец вектора \(\ \overline{a} \) совпадает с началом \(\ \overline{b} \) называется вектор \(\ \overline{c} \) , начало которого совпадает с началом вектора \(\ \overline{a} \), конец – с концом вектора \(\ b \).Графически это выглядит так, как показано на рисунке (правило треугольника)

Операция сложения векторов обладает такими свойствами 1.\(\ \overline{a}+\overline{b}=\overline{b}+\overline{a} \)

\(\ (\overline{a}+\overline{b})+\overline{c}=a+(\overline{b}+\overline{c}) \)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Разностью векторов \(\ \overline{a} \) и \(\ b \) называется такой вектор \(\ \overline{c} \) , который в сумме с вектором \(\ \overline{b} \) дает вектор \(\ \overline{a} \).

Если векторы \(\ \overline{a}=\left(a_

Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
, a_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
, a_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\right) \) и \(\ \overline{b}=\left(b_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
, b_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
, b_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\right) \) заданы своими координатами, то сумма/разность этих векторов

\(\ \overline{a} \pm \overline{b}=\left(a_

Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\pm b_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
, a_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
\pm b_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
, a_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\pm b_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\right) \)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Произведением вектора \(\ \overline{a}=\left(a_

Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
, a_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
, a_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\right) \) на число \(\ \alpha \) называется вектор \(\ \alpha \cdot \overline{a}=\left(\alpha a_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
, \alpha a_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
, \alpha a_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\right) \) , который параллелен вектору \(\ \overline{a} \) , сонаправлен \(\ \overline{a} \) , если \(\ \alpha>0 \) , и противоположно направлен, если \(\ \alpha<0 \).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Скалярным произведением векторов \(\ \overline{a}=\left(a_

Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
, a_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
, a_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\right) \) и \(\ \overline{b}=\left(b_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
, b_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
, b_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\right) \) называется число \(\ (\overline{a}, \overline{b}) \), равное сумме произведений соответствующих координат:

\(\ (\overline{a}, \overline{b})=a_

Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
b_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+a_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
b_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
+a_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
b_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\)

Также скалярное произведение векторов можно вычислить как произведение модулей векторов на косинус угла между ними:

\(\ (\overline{a}, \overline{b})=|\overline{a}||\overline{b}| \cos (\overline{a}, \overline{b}) \)

Свойства скалярного произведения

1.\(\ (\overline{a}, \overline{b})=(\overline{b}, \overline{a}) \)

2.\(\ (\overline{a}, \overline{b}+\overline{c})=(\overline{a}, \overline{b})+(\overline{a}, \overline{c}) \)

3.\(\ (\lambda \overline{a}, \overline{b})=(\overline{a}, \lambda \overline{b})=\lambda(\overline{a}, \overline{b}) \)

4.\(\ (\overline{a}, \overline{a}) \geq 0 \)

5.\(\ (\overline{a}, \overline{a})=|\overline{a}|^

Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
\)

6.\(\ (\overline{a}, \overline{b})=0 \Leftrightarrow \overline{a} \perp \overline{b} \)

Векторным произведением векторов \(\ a \) и \(\ \overline{b} \) называется вектор \(\ \overline{c}=\overline{a} \times \overline{b} \) (или \(\ \overline{c}=[\overline{a}, b] \) )такой, что:

1) вектор \(\ \overline{c} \) ортогонален векторам \(\ \overline{a} \) и \(\ \overline{b} \) :

\(\ \overline{c} \perp \overline{a}, \overline{c} \perp \overline{b} \)

2) векторы \(\ \overline{a} \), \(\ \overline{b} \) и \(\ \overline{c} \) образуют правую тройку;

3) модуль векторного произведения равен площади параллелограмма построенного на векторах \(\ \overline{a} \) и \(\ \overline{b} \) :

\(\ |\overline{c}|=|\overline{a}| \cdot|\overline{b}| \cdot \sin (\overline{a}, \overline{b}) \)

Если векторы \(\ \overline{a}=\left(a_

Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
, a_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
, a_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\right) \) и \(\ \overline{b}=\left(b_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
, b_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
, b_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\right) \) заданы своими координатами, то векторное произведение находится по формуле:

\(\ [\overline{a}, \overline{b}]=\left|\begin{array}{ccc}{\overline{i}} & {\overline{j}} & {k} \\ {a_

Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
} & {a_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
} & {a_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
} \\ {b_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
} & {b_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
} & {b_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
}\end{array}\right| \)

Свойства векторного произведения

1.\(\ [\overline{a}, \overline{b}]=-[\overline{b}, \overline{a}] \)

2.\(\ [\overline{a}, \overline{b}+\overline{c}]=[\overline{a}, \overline{b}]+[\overline{a}, \overline{c}] \)

3.\(\ [\lambda \overline{a}, \overline{b}]=[\overline{a}, \lambda \overline{b}]=\lambda[\overline{a}, \overline{b}] \)

4.\(\ [\overline{a}, \overline{b}]=\overline

Так и не нашли ответ на вопрос?
Просто напишите, с чем нужна помощь
Мне нужна помощь
\) если векторы \(\ a \) и \(\ \overline{b} \)коллинеарные

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Смешанным произведением \(\ \overline{a} \), \(\ \overline{b} \) и \(\ \overline{c} \) векторов называется скалярное произведение вектора \(\ \overline{a} \) на векторное произведение векторов \(\ \overline{b} \) и \(\ \overline{c} \) :

\(\ (\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})=(\overline{a}, \overline{b} \times \overline{c}) \)

Свойства смешанного произведения

1. Смешанное произведение равно нулю, если векторы \(\ \overline{a} \), \(\ \overline{b} \) и \(\ \overline{c} \) – компланарны

2. Модуль смешанного произведения трех некомпланарных векторов \(\ \overline{a} \), \(\ \overline{b} \) и \(\ \vec{C} \) равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах

3. Смешанное произведение векторов \(\ \overline{a}=\left(a_

Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
, a_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
, a_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\right) \), \(\ \overline{b}=\left(b_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
, b_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
, b_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\right) \), \(\ \overline{a}=\left(a_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
, a_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
, a_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\right) \), \(\ \overline{b}=\left(b_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
, b_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
, b_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\right) \) и \(\ \overline{c}=\left(c_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
, c_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
, c_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\right) \) , заданных своими координатами, равно значению определителя, составленного из координат этих векторов:

\(\ (\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})=\left|\begin{array}{lll}{a_

Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
} & {a_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
} & {a_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
} \\ {b_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
} & {b_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
} & {b_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
} \\ {c_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
} & {c_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
} & {c_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
}\end{array}\right| \)

4. Если тройка векторов \(\ \overline{a} \), \(\ \overline{b} \) и \(\ \overline{c} \) правая, то смешанное произведение \(\ (\overline{a}, b, \overline{c})>0 \) , если левая, то \(\ (\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})<0 \)

5.\(\ (\lambda \overline{a}, \overline{b}, \overline{c})=(\overline{a}, \lambda \overline{b}, \overline{c})=(\overline{a}, \overline{b}, \lambda \overline{c})=\lambda(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}) \)

6.\(\ (\overline{a}+d, \overline{b}, \overline{c})=(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})+(d, \overline{b}, \overline{c}) \)

\(\ (\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})+(\overline{b}, \overline{c}, \overline{a},)+(\overline{c}, \overline{a}, \overline{b})=0 \)

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

  • Задание

    Для векторов \(\ \overline{a}=(3,6,-2) \) и \(\ \overline{b}=(2,-1,5) \) найти вектор \(\ 5 \overline{a}-3 \overline{b} \)

  • Решение

    Найдем векторы

    \(\ 5 \overline{a}=5 \cdot(3,6,-2)=(15,30,-10) \); \(\ 3 \overline{b}=3 \cdot(2,-1,5)=(6,-3,15) \)

    Найдем разность:

    \(\ 5 \overline{a}-3 b=(15,30,-10)-(6,-3,15)=(15-6,30-(-3),-10-15)=(9,33,-25) \)

  • Ответ

    \(\ 5 \overline{a}-3 \overline{b}=(9,33,-25) \)

    ПРИМЕР 2

  • Задание

    Найти скалярное и векторное произведение векторов \(\ \overline{a}=(1,-3,5) \) и \(\ \overline{b}=(1,2,0) \)

  • Решение

    Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат:

    \(\ (\overline{a}, \overline{b})=a_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    b_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +a_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    b_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +a_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    b_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =1 \cdot 1+(-3) \cdot 2+5 \cdot 0=-5 \)

    Векторное произведение векторов, заданных своими координатами равно

    \(\ [\overline{a}, \overline{b}]=\left|\begin{array}{ccc}{\overline{i}} & {\overline{j}} & {\overline{k}} \\ {a_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    } & {a_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    } & {a_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    } \\ {b_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    } & {b_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    } & {b_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}{\overline{i}} & {\overline{j}} & {\overline{k}} \\
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    & {-3} & {5} \\
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    &
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    &
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \end{array}\right|=-10 \overline{i}+5 \overline{j}+5 \overline{k} \)

    т.е. \(\ [\overline{a}, \overline{b}]=(-10,5,5) \)

  • Ответ

    \(\ (\overline{a}, \overline{b})=-5,[\overline{a}, \overline{b}]=(-10,5,5) \)

  • Узнать цену работы

    Узнай цену

    своей работы