Свойства векторов
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Вектор представляет собой направленный сегмент, который обозначается \(\
A B
\) (начиная с точки \(\
A
\), заканчивается в точке \(\
B
\)) или \(\
\overline{a}
\)
Если концы вектора задаются по их координатам в пространстве \(\
A=\left(a_
\(\
A B=\left(b_
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Модуль (длина) вектора \(\
\overline{c}=\left(c_
\(\
\overline{c}=\sqrt{c_
Вектор называется одиночным, если его длина равна единице. Вектор называется нулевым, если его длина равна нулю.
Векторы \(\
\overline{a}
\) и
\(\
\overline{b}
\) называются коллинеарными, если они либо лежат на одной прямой, либо на параллельных прямых.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Суммой векторов \(\
\overline{a}
\) и \(\
\overline{b}
\) (конец вектора \(\
\overline{a}
\) совпадает с началом \(\
\overline{b}
\) называется вектор \(\
\overline{c}
\) , начало которого совпадает с началом вектора \(\
\overline{a}
\), конец – с концом вектора \(\
b
\).Графически это выглядит так, как показано на рисунке (правило треугольника)
Операция сложения векторов обладает такими свойствами
1.\(\
\overline{a}+\overline{b}=\overline{b}+\overline{a}
\)
\(\
(\overline{a}+\overline{b})+\overline{c}=a+(\overline{b}+\overline{c})
\)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Разностью векторов \(\
\overline{a}
\) и \(\
b
\) называется такой вектор \(\
\overline{c}
\) , который в сумме с вектором \(\
\overline{b}
\) дает вектор \(\
\overline{a}
\).
Если векторы \(\
\overline{a}=\left(a_
\(\
\overline{a} \pm \overline{b}=\left(a_
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Произведением вектора \(\
\overline{a}=\left(a_
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Скалярным произведением векторов \(\
\overline{a}=\left(a_
\(\
(\overline{a}, \overline{b})=a_
Также скалярное произведение векторов можно вычислить как произведение модулей векторов на косинус угла между ними:
\(\
(\overline{a}, \overline{b})=|\overline{a}||\overline{b}| \cos (\overline{a}, \overline{b})
\)
Свойства скалярного произведения
1.\(\
(\overline{a}, \overline{b})=(\overline{b}, \overline{a})
\)
2.\(\
(\overline{a}, \overline{b}+\overline{c})=(\overline{a}, \overline{b})+(\overline{a}, \overline{c})
\)
3.\(\
(\lambda \overline{a}, \overline{b})=(\overline{a}, \lambda \overline{b})=\lambda(\overline{a}, \overline{b})
\)
4.\(\
(\overline{a}, \overline{a}) \geq 0
\)
5.\(\
(\overline{a}, \overline{a})=|\overline{a}|^
6.\(\
(\overline{a}, \overline{b})=0 \Leftrightarrow \overline{a} \perp \overline{b}
\)
Векторным произведением векторов \(\
a
\) и \(\
\overline{b}
\) называется вектор \(\
\overline{c}=\overline{a} \times \overline{b}
\) (или \(\
\overline{c}=[\overline{a}, b]
\) )такой, что:
1) вектор \(\
\overline{c}
\) ортогонален векторам \(\
\overline{a}
\) и \(\
\overline{b}
\) :
\(\
\overline{c} \perp \overline{a}, \overline{c} \perp \overline{b}
\)
2) векторы \(\
\overline{a}
\), \(\
\overline{b}
\) и \(\
\overline{c}
\) образуют правую тройку;
3) модуль векторного произведения равен площади параллелограмма построенного на векторах \(\
\overline{a}
\) и \(\
\overline{b}
\) :
\(\
|\overline{c}|=|\overline{a}| \cdot|\overline{b}| \cdot \sin (\overline{a}, \overline{b})
\)
Если векторы \(\
\overline{a}=\left(a_
\(\
[\overline{a}, \overline{b}]=\left|\begin{array}{ccc}{\overline{i}} & {\overline{j}} & {k} \\ {a_
Свойства векторного произведения
1.\(\
[\overline{a}, \overline{b}]=-[\overline{b}, \overline{a}]
\)
2.\(\
[\overline{a}, \overline{b}+\overline{c}]=[\overline{a}, \overline{b}]+[\overline{a}, \overline{c}]
\)
3.\(\
[\lambda \overline{a}, \overline{b}]=[\overline{a}, \lambda \overline{b}]=\lambda[\overline{a}, \overline{b}]
\)
4.\(\
[\overline{a}, \overline{b}]=\overline
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Смешанным произведением \(\
\overline{a}
\), \(\
\overline{b}
\) и \(\
\overline{c}
\) векторов называется скалярное произведение вектора \(\
\overline{a}
\) на векторное произведение векторов \(\
\overline{b}
\) и \(\
\overline{c}
\) :
\(\
(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})=(\overline{a}, \overline{b} \times \overline{c})
\)
Свойства смешанного произведения
1. Смешанное произведение равно нулю, если векторы \(\
\overline{a}
\), \(\
\overline{b}
\) и \(\
\overline{c}
\) – компланарны
2. Модуль смешанного произведения трех некомпланарных векторов \(\
\overline{a}
\), \(\
\overline{b}
\) и \(\
\vec{C}
\) равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах
3. Смешанное произведение векторов \(\
\overline{a}=\left(a_
\(\
(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})=\left|\begin{array}{lll}{a_
4. Если тройка векторов \(\
\overline{a}
\), \(\
\overline{b}
\) и \(\
\overline{c}
\) правая, то смешанное произведение \(\
(\overline{a}, b, \overline{c})>0
\) , если левая, то \(\
(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})<0
\)
5.\(\
(\lambda \overline{a}, \overline{b}, \overline{c})=(\overline{a}, \lambda \overline{b}, \overline{c})=(\overline{a}, \overline{b}, \lambda \overline{c})=\lambda(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})
\)
6.\(\
(\overline{a}+d, \overline{b}, \overline{c})=(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})+(d, \overline{b}, \overline{c})
\)
\(\
(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})+(\overline{b}, \overline{c}, \overline{a},)+(\overline{c}, \overline{a}, \overline{b})=0
\)
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
Для векторов \(\
\overline{a}=(3,6,-2)
\) и \(\
\overline{b}=(2,-1,5)
\) найти вектор \(\
5 \overline{a}-3 \overline{b}
\)
Найдем векторы
\(\
5 \overline{a}=5 \cdot(3,6,-2)=(15,30,-10)
\); \(\
3 \overline{b}=3 \cdot(2,-1,5)=(6,-3,15)
\)
Найдем разность:
\(\
5 \overline{a}-3 b=(15,30,-10)-(6,-3,15)=(15-6,30-(-3),-10-15)=(9,33,-25)
\)
\(\
5 \overline{a}-3 \overline{b}=(9,33,-25)
\)
ПРИМЕР 2
Найти скалярное и векторное произведение векторов \(\
\overline{a}=(1,-3,5)
\) и \(\
\overline{b}=(1,2,0)
\)
Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат:
\(\
(\overline{a}, \overline{b})=a_
Векторное произведение векторов, заданных своими координатами равно
\(\
[\overline{a}, \overline{b}]=\left|\begin{array}{ccc}{\overline{i}} & {\overline{j}} & {\overline{k}} \\ {a_
т.е. \(\
[\overline{a}, \overline{b}]=(-10,5,5)
\)
\(\
(\overline{a}, \overline{b})=-5,[\overline{a}, \overline{b}]=(-10,5,5)
\)
