Свойства высоты треугольника

1. В остром треугольнике высоты пересекаются внутри треугольника; в тупой - вне треугольника; в прямоугольном - в верхней части правого угла.

2. В правом треугольнике ноги - это высоты.

3. В прямоугольном треугольнике высота, выведенная из вершины правого угла, разбивает ее на два треугольника, аналогичные исходной.

4. В остром треугольнике его две высоты отключают от него аналогичные треугольники.

5. В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, является медианной и биссектрисой.

В равностороннем треугольнике все высоты являются медианами и биссектрисами.

Примеры решения проблем

ПРИМЕР 1

В треугольнике \(\ \mathrm{ABC} \) со стороной \(\ A B=8 \mathrm{см} \)и \(\ \angle A=45^{\circ} \)найдите высоту, опущенную из вершины \(\ B \).

В треугольнике \(\ \mathrm{ABC} \) из вершины \(\ B \) мы понижаем высоту \(\ \mathrm{BK} \). Рассмотрим полученный правый треугольник \(\ \mathrm{ABK} \) с прямым углом \(\ B \) и углом \(\ \angle A=45 \) (по условию). Найти \(\ \mathrm{BK} \):

\(\ B K=A B \sin \angle A=8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=4 \sqrt{2} \mathrm{cm} \)

\(\ B K=4 \sqrt{2} \)

ПРИМЕР 2

В прямоугольном треугольнике \(\ \mathrm{ABC} \) высота \(\ \mathrm{BK} \) делит гипотенузу на сегменты \(\ A K=4 \mathrm{см} \) и \(\ \mathrm{K}=9 \mathrm{см} \). Найдите область треугольника \(\ \mathrm{ABC} \).

Треугольники \(\ \mathrm{AKB} \), \(\ \mathrm{CKB} \) - аналогичные. Средства

\(\ \frac{A K}{B K}=\frac{B K}{K C} \Rightarrow B K^{2}=A K \cdot K C=4 \cdot 9=36 \mathrm{см} \)

отсюда

\(\ B K=6 \mathrm{см} \)

Из правых треугольников \(\ \mathrm{AKB} \) и \(\ \mathrm{CKB} \) находим \(\ AB \), \(\ BC \) (используя теорему Пифагора):

\(\ A B=\sqrt{A K^{2}+B K^{2}}=\sqrt{52}=2 \sqrt{13} \mathrm{см} \), \(\ B C=\sqrt{C K^{2}+B K^{2}}=\sqrt{117} \mathrm{см} \)

Затем мы найдем область треугольника \(\ \mathrm{ABC} \):

\(\ S_{A B C}=\frac{1}{2} A B \cdot B C=\frac{2 \sqrt{13} \sqrt{117}}{2}=\sqrt{1521} \mathrm{см} \)

\(\ S_{A B C}=\sqrt{1521} \)