Таблица эквивалентности пределов
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Таблица эквивалентных функций используется для вычисления пределов и изучения числовых рядов для сходимости.
Пусть функция \(\
\alpha(x)
\) - бесконечно малая функция в точке а, т. е.
\(\
\lim _{x \rightarrow a} \alpha(x)=0
\)
то имеют место следующие соотношения:
\(\
\sin \alpha(x) \sim \alpha(x)
\), \(\
e^{\alpha(x)}-1 \sim \alpha(x)
\)
\(\
\operatorname{tg} \alpha(x) \sim \alpha(x)
\), \(\
a^{\alpha(x)}-1 \sim \alpha(x) \ln a
\)
\(\
\arcsin \alpha(x) \sim \alpha(x)
\), \(\
\ln (1+\alpha(x)) \sim \alpha(x)
\)
\(\
\operatorname{arctg} \alpha(x) \sim \alpha(x)
\), \(\
\log _{a}(1+\alpha(x)) \sim \frac{\alpha(x)}{\ln a}
\)
\(\
1-\cos \alpha(x) \sim \frac{\alpha^
Примеры решения проблем
ПРИМЕР
Используя таблицу эквивалентных бесконечно малых, вычислите предел
\(\
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \arcsin x^
Этот предел имеет неопределенность.
\(\
\left[\frac{0 \cdot \arcsin 0^
Перейдем под знаком предела к эквивалентной бесконечно малой (это можно сделать, поскольку аргументы арксина и синуса стремятся к нулю):
\(\
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \arcsin x^
\(\
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \arcsin x^
ПРИМЕР
Найти предел
\(\
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\operatorname{tg}(x-1)}{x^
\(\
\left[\frac{\operatorname{tg}(1-1)}{1^
То есть, мы имеем неопределенность типа \(\
\left[\frac
\(\
\operatorname{tg}(x-1)^{-} x-1
\)
Для знаменателя фракции применяйте сокращенную формулу умножения «разность квадратов»:
\(\
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\operatorname{tg}(x-1)}{x^
