Узнать цену работы
Статьи по теме

Таблица эквивалентности пределов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Таблица эквивалентных функций используется для вычисления пределов и изучения числовых рядов для сходимости.

Пусть функция \(\ \alpha(x) \) - бесконечно малая функция в точке а, т. е.

\(\ \lim _{x \rightarrow a} \alpha(x)=0 \)

то имеют место следующие соотношения:

\(\ \sin \alpha(x) \sim \alpha(x) \), \(\ e^{\alpha(x)}-1 \sim \alpha(x) \)

\(\ \operatorname{tg} \alpha(x) \sim \alpha(x) \), \(\ a^{\alpha(x)}-1 \sim \alpha(x) \ln a \)

\(\ \arcsin \alpha(x) \sim \alpha(x) \), \(\ \ln (1+\alpha(x)) \sim \alpha(x) \)

\(\ \operatorname{arctg} \alpha(x) \sim \alpha(x) \), \(\ \log _{a}(1+\alpha(x)) \sim \frac{\alpha(x)}{\ln a} \)

\(\ 1-\cos \alpha(x) \sim \frac{\alpha^

Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
(x)}
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
\), \(\ (1+\alpha(x))^{m}-1 \sim \operatorname{mo}(x) \)

Примеры решения проблем

ПРИМЕР

  • Задача

    Используя таблицу эквивалентных бесконечно малых, вычислите предел

    \(\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \arcsin x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }{\sin x} \)

  • Решение.

    Этот предел имеет неопределенность.

    \(\ \left[\frac{0 \cdot \arcsin 0^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }{\sin 0}=\frac
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right] \)

    Перейдем под знаком предела к эквивалентной бесконечно малой (это можно сделать, поскольку аргументы арксина и синуса стремятся к нулю):

    \(\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \arcsin x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }{\sin x}\left[\frac
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right]=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \cdot x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }{x}=\lim _{x \rightarrow 0} x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =0 \)

  • Ответ

    \(\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \arcsin x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }{\sin x}=0 \)

    ПРИМЕР

  • Задача

    Найти предел

    \(\ \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\operatorname{tg}(x-1)}{x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -1} \)

  • Решение Узнайте, имеет ли рассматриваемый предел неопределенность, и если да, то какой:

    \(\ \left[\frac{\operatorname{tg}(1-1)}{1^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -1}=\frac{\operatorname{tg} 0}
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =\frac
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right] \)

    То есть, мы имеем неопределенность типа \(\ \left[\frac

    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right] \) . Поскольку касательный аргумент стремится к нулю, когда х стремится к единице, можно заменить касательную на ее эквивалентное значение:

    \(\ \operatorname{tg}(x-1)^{-} x-1 \)

    Для знаменателя фракции применяйте сокращенную формулу умножения «разность квадратов»:

    \(\ \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\operatorname{tg}(x-1)}{x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -1}\left[\frac
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right]=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x-1}{(x-1)(x+1)}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {x+1}=\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {1+1}=\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \)

  • Ответ \(\ \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\operatorname{tg}(x-1)}{x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -1}=\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \)
  • Узнать цену работы

    Узнай цену

    своей работы