Узнать цену работы
Статьи по теме

Таблица неопределенных интегралов

1.\(\ \int 0 \cdot d x=C \)

2.\(\ \int 1 \cdot d x=x+C \)

3.\(\ \int x^{n} \cdot d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C, n \neq-1, x>0 \)

4.\(\ \int \frac{d x}{x}=\ln |x|+C \)

5.\(\ \int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\ln a}+C \)

6.\(\ \int e^{x} d x=e^{x}+C \)

7.\(\ \int \sin x d x=-\cos x+C \)

8.\(\ \int \cos x d x=\sin x+C \)

9.\(\ \int \frac{d x}{\sin ^{2} x}=-\operatorname{ctg} x+C \)

10.\(\ \int \frac{d x}{\cos ^{2} x}=\operatorname{tg} x+C \)

11.\(\ \int \frac{d x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\arcsin \frac{x}{a}+C,|x|<|a| \)

12.\(\ \int \frac{d x}{a^{2}+x^{2}}=\frac{1}{a} \operatorname{arctg} \frac{x}{a}+C \)

13. "Высокий логарифм" \(\ \int \frac{d x}{a^{2}-x^{2}}=\frac{1}{2 a} \ln \left|\frac{a+x}{a-x}\right|+C,|x| \neq a \)

14."Длинный логарифм"\(\ \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}}=\ln \left|x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}\right|+C \)

Использование табличных интегралов

ПРИМЕР 1

  • Задача

    Поиски Интеграла

    \(\ \int \frac{x+x^{2}}{x} d x \)

  • Решение

    разделит функцию подынтегральной функции:

    \(\ \int \frac{x+x^{2}}{x} d x=\int\left(\frac{x}{x}+\frac{x^{2}}{x}\right) d x=\int(1+x) d x \)

    Согласно свойствам неопределенного интеграла интеграл от суммы функций равен сумме интегралов каждого из слагаемых:

    \(\ \int \frac{x+x^{2}}{x} d x=\int(1+x) d x=\int 1 \cdot d x+\int x d x \)

    Согласно таблице интегралов получаем, что

    \(\ \int \frac{x+x^{2}}{x} d x=\int 1 \cdot d x+\int x d x=x+\frac{x^{1+1}}{1+1}+C=x+\frac{x^{2}}{2}+C \)

  • Ответ

    \(\ \int \frac{x+x^{2}}{x} d x=x+\frac{x^{2}}{2}+C \)

    ПРИМЕР 2

  • Задача

    \(\ \int\left(e^{x}+2^{x}\right) d x \)

  • Решение. Интеграл суммы двух функций равен сумме двух интегралов:

    \(\ \int\left(e^{x}+2^{x}\right) d x=\int e^{x} d x+\int 2^{x} d x \)

    Согласно интегральной таблице мы имеем:

    \(\ \int\left(e^{x}+2^{x}\right) d x=\int e^{x} d x+\int 2^{x} d x=e^{x}+\frac{2^{x}}{\ln 2}+C \)

  • Ответ

    \(\ \int\left(e^{x}+2^{x}\right) d x=e^{x}+\frac{2^{x}}{\ln 2}+C \)

  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ