Узнать цену работы
Статьи по теме

Таблица производных сложных функций

\(\ \begin{array}{|c|c|} \hline 1. \left(u^{n}\right)^{\prime}=n u^{n-1} \cdot u^{\prime} & 11. (\arcsin u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{\sqrt{1-u^{2}}} \\ \hline 2. \left(a^{u}\right)^{\prime}=a^{u} \cdot \ln a \cdot u^{\prime}& 12. (\arccos u)^{\prime}=-\frac{u^{\prime}}{\sqrt{1-u^{2}}} \\ \hline 3. \left(e^{u}\right)^{\prime}=e^{u} \cdot u^{\prime}& 13. (\operatorname{arctg} u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{1+u^{2}} \\ \hline 4. \left(\log _{a} u\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u \ln a}& 14 (\operatorname{arcctg} u)^{\prime}=-\frac{u^{\prime}}{1+u^{2}} \\ \hline 5. (\ln u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u}& 15. (\operatorname{sh} u)^{\prime}=\operatorname{ch} u \cdot u^{\prime}\\ \hline 6. (\sin u)^{\prime}=\cos u \cdot u^{\prime}&16. (\operatorname{ch} u)^{\prime}=\operatorname{sh} u \cdot u^{\prime} \\ \hline 7. (\cos u)^{\prime}=-\sin u \cdot u^{\prime}&17. 17 .(\operatorname{th} u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{\operatorname{ch}^{2} u} \\ \hline 8. (\sqrt{u})^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{2 \sqrt{u}}&18. (\operatorname{cth} u)^{\prime}=-\frac{u^{\prime}}{\operatorname{sh}^{2} u} \\ \hline 9. (\operatorname{tg} u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{\cos ^{2} u}& \\ \hline 10. (\operatorname{ctg} \mathrm{u})^{\prime}=-\frac{u^{\prime}}{\sin ^{2} u}& \\ \hline \end{array} \)

Пример 1.

Задача

Найти производную функции \(\ y(x)=\arcsin 2 x-e^{2 x-3} \)

Решение

Желаемое производное: \(\ y^{\prime}(x)=\left(\arcsin 2 x-e^{2 x-3}\right)^{\prime} \)

Производная от разности равна разности производных, т. е. \(\ y^{\prime}(x)=(\arcsin 2 x)^{\prime}-\left(e^{2 x-3}\right)^{\prime} \)

Производную арксинуса найдем через формулу \(\ (\arcsin u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{\sqrt{1-u^{2}}} \)

и для экспоненты мы используем формулу

\(\ \left(e^{u}\right)^{\prime}=e^{u} \cdot u^{\prime} \)

Тогда у нас будет:

\(\ y^{\prime}(x)=\frac{(2 x)^{\prime}}{\sqrt{1-(2 x)^{2}}}-e^{2 x-3} \cdot(2 x-3)^{\prime}=\frac{2 \cdot(x)^{\prime}}{\sqrt{1-4 x^{2}}}-e^{2 x-3} \cdot\left[(2 x)^{\prime}-(3)^{\prime}\right]= \frac{2 \cdot 1}{\sqrt{1-4 x^{2}}}-e^{2 x-3} \cdot\left[2 \cdot(x)^{\prime}-0\right]=\frac{2}{\sqrt{1-4 x^{2}}}-e^{2 x-3} \cdot(2 \cdot 1-0)= \frac{2}{\sqrt{1-4 x^{2}}}-2 e^{2 x-3} \)

Ответ \(\ y^{\prime}(x)=\frac{2}{\sqrt{1-4 x^{2}}}-2 e^{2 x-3} \)

Пример 2.

Задача

Найти производную функции \(\ y(x)=\sin (3 x-1) \)

Решение

Продифференцируем функцию: \(\ y^{\prime}(x)=(\sin (3 x-1))^{\prime} \)

Производная от синуса равна косинусу того же аргумента, умноженному на производную от аргумента, т. е.

\(\ y^{\prime}(x)=\cos (3 x-1) \cdot(3 x-1)^{\prime}=\cos (3 x-1) \cdot\left[(3 x)^{\prime}-(1)^{\prime}\right]=\cos (3 x-1) \cdot\left[3 \cdot(x)^{\prime}-0\right]= \cos (3 x-1) \cdot(3 \cdot 1-0)=3 \cos (3 x-1) \)

Ответ \(\ y(x)=\sin (3 x-1) \)

Узнать цену работы
Узнай цену
своей работы
Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
Закажи свою оригинальную работу
УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ