Таблица производных

\(\ \begin{array}{|c|c|} \hline 1. c^{\prime}=0, c=const& 11. (\operatorname{ctg} x)^{\prime}=-\frac{1}{\sin ^{2} x}\\ \hline 2. \left(x^{n}\right)=n x^{n-1}&12. (\arcsin x)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \\ \hline 3. \left(a^{x}\right)^{\prime}=a^{x} \cdot \ln a&13. (\arccos x)^{\prime}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\\ \hline 4. \left(e^{x}\right)^{\prime}=e^{x}&14. (\operatorname{arctg} x)^{\prime}=\frac{1}{1+x^{2}} |\\ \hline 5. \left(\log _{a} x\right)^{\prime}=\frac{1}{x \ln a}&15. (\operatorname{arcctg} x)^{\prime}=-\frac{1}{1+x^{2}}\\ \hline 6. (\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}&16. (\operatorname{sh} x)^{\prime}=\operatorname{ch} x\\ \hline 7. (\sin x)^{\prime}=\cos x&17. (\operatorname{ch} x)^{\prime}=\operatorname{sh} x\\ \hline 8. (\cos x)^{\prime}=-\sin x&18. (\operatorname{th} x)^{\prime}=\frac{1}{\operatorname{ch}^{2} x}\\ \hline 9. (\sqrt{x})^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{x}}& 19. (\operatorname{cth} x)^{\prime}=-\frac{1}{\operatorname{sh}^{2} x} \\ \hline 10. (\operatorname{tg} x)^{\prime}=\frac{1}{\cos ^{2} x}& \\ \hline \end{array} \)

Пример 1

Задача

Найти производную от функции \(\ y=x^{2}+4 \)

Решение

Требуемая производная \(\ y^{\prime}=\left(x^{2}+4\right)^{\prime} \)

В соответствии с правилами дифференциации (нахождение производной) производная суммы равна сумме производных, т. е. \(\ y^{\prime}=\left(x^{2}\right)^{\prime}+(4)^{\prime} \)

Производная от первого члена определяется как производная от силовой функции (формула № 2 в таблице производных), а вторая - как производная от константы (формула № 1 в таблице):

\(\ y^{\prime}=\left(x^{2}\right)^{\prime}+(4)^{\prime} \)

Ответ \(\ y^{\prime}=2 x \)

ПРИМЕР 2

Задача

Найти производную от функции \(\ y=\cos x-\ln x \)

Решение

Разделим данную функцию: \(\ y^{\prime}=(\cos x-\ln x)^{\prime} \)

Производная от разности равна разности производных: \(\ y^{\prime}=(\cos x)^{\prime}-(\ln x)^{\prime} \)

Производная косинуса равна минус синус (формула № 8 в таблице производных), а производная от натурального логарифма определяется по формуле № 6 из таблицы. Мы получаем:

\(\ y^{\prime}=-\sin x-\frac{1}{x} \)

Ответ \(\ y^{\prime}=-\sin x-\frac{1}{x} \)