Тангенс угла
Определение и касательная формула
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике является отношение стороны, противоположной этому углу, к соседней стороне. Тангенс угла \(\ \alpha \) обозначается \(\ \operatorname{tg} \mathrm{a} \)
Рассмотрим правый треугольник \(\ \mathrm{ABC} \) (изображенный на рисунке) с \(\ \angle C=90^{\circ} \),\(\ \angle A=\alpha \),\(\ \angle B=\beta \) гипотенузой \(\ \mathrm{AB}=\mathrm{c} \) и катетами \(\ \mathrm{AC}=\mathrm{b} \) и \(\ \mathrm{BC}=\mathrm{a} \), затем \(\ \operatorname{tg} \alpha=\frac{B C}{A C}=\frac{a}{b} \), \(\ \operatorname{tg} \beta=\frac{A C}{B C}=\frac{b}{a} \)
Рассмотрим тригонометрический круг радиуса 1, центрированный в начале координат.
Выберем произвольный угол \(\ \alpha \) , соответствующий точке на окружности \(\ A\left(x_{0}, y_{0}\right) \)
Отбросьте перпендикуляры на оси координат, затем \(\ \operatorname{tg} \alpha=\frac{A B}{O B}=\frac{y_{0}}{x_{0}} \)
Т.е. тангенсом угла является отношение ординаты точки \(\ \mathrm{A} \) к оси абсцисс. Поскольку синус угла равен значению ординаты точки \(\ \mathrm{A} \), а косинус угла равен значению абсциссы, \(\ \operatorname{tg} \alpha=\frac{y_{0}}{x_{0}}=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \)
Функция \(\ y=\operatorname{tg} x \) является периодической с периодом \(\ T=180^{\circ} \) , т.е. \(\ \operatorname{tg}\left(180^{\circ}+\alpha\right)=\operatorname{tg} \alpha \)
Примеры решения проблем
ПРИМЕР 1
В правом треугольнике \(\ \mathrm{ABC} \) с катетами \(\ \mathrm{AB}=4 \mathrm{см} \) и \(\ A C=6 \mathrm{см} \) найти касательные углы \(\ \mathrm{B} \) и \(\ \mathrm{C} \)
Поскольку касательная к острейшему углу в прямоугольном треугольнике равна отношению противоположной ноги к смежному, мы можем написать, что\(\ \operatorname{tg} \angle B=\frac{A C}{A B}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3} \), \(\ \operatorname{tg} \angle C=\frac{A B}{A C}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2} \)
ПРИМЕР 2
Найти: \(\ \operatorname{tg} \alpha \) если \(\ \frac{4 \cos \alpha+5 \sin \alpha}{\sin \alpha-3 \cos \alpha}=2 \)
Преобразуйте данное выражение следующим образом: \(\ 4 \cos \alpha+5 \sin \alpha=2(\sin \alpha-3 \cos \alpha) \)
или же \(\ 3 \sin \alpha=-10 \cos \alpha \Rightarrow \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=-\frac{10}{3} \)
В силу \(\ \operatorname{tg} \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \) получаем, что\(\ \operatorname{tg} \alpha=-\frac{10}{3} \)
\(\ \operatorname{tg} \alpha=-\frac{10}{3} \)