Узнать цену работы
Статьи по теме

Теорема тангенсов

ТЕОРЕМА

Разность двух сторон треугольника относится к их сумме, как тангенс полуразности противолежащих углов к тангенсу полусуммы этих углов:

\(\ \frac{a-b}{a+b}=\frac{\operatorname{tg}\left(\frac{\alpha-\beta}

Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
\right)}{\operatorname{tg}\left(\frac{\alpha+\beta}
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
\right)} \)

(и две аналогичные формулы для других пар сторон ( \(\ a \),\(\ c \) и \(\ b \),\(\ c \)

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

  • Задание
  • Доказать, что в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла \(\ 30^{\circ} \), равен половине гипотенузы.

  • Доказательство

    Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\ \mathrm{ABC} \), в котором \(\ \angle A=90^{\circ} \) , \(\ \angle B=30^{\circ} \), \(\ \angle A=90^{\circ} \), \(\ \angle B=30^{\circ} \) . Пусть гипотенуза \(\ \mathrm{BC}=\mathrm{a} \), а катет \(\ \mathrm{AC}=\mathrm{b} \). Запишем теорему тангенсов для этого треугольника:

    \(\ \frac{B C-A C}{B C+A C}=\frac{\operatorname{tg}\left(\frac{A-B}

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right)}{\operatorname{tg}\left(\frac{A+B}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right)} \)

    или

    \(\ \frac{a-b}{a+b}=\frac{\operatorname{tg}\left(\frac{90^{\circ}-30^{\circ}}

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right)}{\operatorname{tg}\left(\frac{90^{\circ}+30^{\circ}}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right)}=\frac{\operatorname{tg} 30^{\circ}}{\operatorname{tg} 60^{\circ}}=\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \)

    Получили, что \(\ \frac{a-b}{a+b}=\frac

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \) или \(\ 3(a-b)=a+b \) откуда

    \(\ a=2 b \)

    Таким образом, гипотенуза \(\ \mathrm{BC} \) в два раза больше катета \(\ \mathrm{AC} \)

  • Что и требовалось доказать

    ПРИМЕР 2

  • Задание

    В треугольнике ABC стороны \(\ \mathrm{BC}=2 \mathrm{см} \), \(\ \mathrm{AC}=1 \mathrm{см} \), а \(\ \angle C=60^{\circ} \).

    Найти остальные углы треугольника.

  • Решение

    Введем обозначения: \(\ \mathrm{BC}=\mathrm{a} \)

    \(\ \frac{a-b}{a+b}=\frac{\operatorname{tg} \frac{\angle A-\angle B}

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }{\operatorname{tg} \frac{\angle A+\angle B}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    } \)

    Запишем теорему тангенсов для этого треугольника

    \(\ 180^{\circ} \)

    Так как сумма углов любого треугольника равна \(\ \angle A+\angle B=180^{\circ}-\angle C=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ} \) , то \(\ \frac{2-1}{2+1}=\frac{\operatorname{tg} \angle A-\angle B}{\operatorname{tg} \frac{120^{\circ}}

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    } \)

    Таким образом, равенство будет иметь вид

    \(\ \operatorname{tg} \frac{\angle A-\angle B}

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \operatorname{tg} 60^{\circ}=\frac{\sqrt
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \)

    откуда

    \(\ \frac{\angle A-\angle B}

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =30^{\circ} \)

    Из последнего равенства следует, что \(\ \angle A+\angle B=120^{\circ} \) . Учитывая также, что \(\ \angle A=90^{\circ} \) получаем \(\ \angle C=30^{\circ} \)

  • Ответ
  • \(\ \angle A=90^{\circ} \), \(\ \angle C=30^{\circ} \)

    Узнать цену работы

    Узнай цену

    своей работы