Точки перегиба функции
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Точкой перегиба функции \(\
f(x)
\) называется точка, в которой эта функция меняет направление выпуклости.
Геометрический смысл точки перегиба функции
В точке перегиба график функции переходит с одной стороны касательной на другую.
Необходимое условие существования точки перегиба функции. Для того чтобы функция \(\
f(x)
\) имела перегиб в точке \(\
M\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)
\), необходимо, чтобы либо вторая производная этой функции обращалась в нуль в точке \(\
x_{0}
\) , либо чтобы \(\
x_{0}
\) , была для второй производной точкой разрыва, либо чтобы вторая производная в точке \(\
x_{0}
\) , не существовала.
Первое достаточное условие существования точки перегиба функции. Пусть функция \(\
f(x)
\) имеет вторую производную в некоторой выколотой \(\
Е
\) -окрестности точки \(\
x_{0}
\) и дифференцируема в этой точке. Если при переходе через точку \(\
x_{0}
\) вторая производная функции \(\
f(x)
\) меняет знак, то точка \(\
M\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)
\) является точкой перегиба функции \(\
f(x)
\).
Второе достаточное условие существования точки перегиба функции. Если для функции \(\
f(x)
\) в точке \(\
x_{0}
\) вторая производная равна нулю, а третья нет
\(\
f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0, f^{\prime \prime \prime}\left(x_{0}\right) \neq 0
\),
то точка \(\
M\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)
\) является точкой перегиба функции \(\
f(x)
\)
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
Найти точки перегиба функции \(\
y=x^{4}-6 x^{2}+4
\)
Найдем вторую производную заданной функции. По определению \(\
y^{\prime \prime}=\left(y^{\prime}\right)^{\prime}
\) , следовательно, найдем сначала первую производную
\(\
y^{\prime}=4 x^{3}-12 x
\)
\(\
y^{\prime \prime}=\left(4 x^{3}-12 x\right)^{\prime}=12 x^{2}-12
\)
Приравниваем к нулю вторую производную и находим корни полученного уравнения
\(\
12 x^{2}-12=0 \Leftrightarrow 12\left(x^{2}-1\right)=0 \Leftrightarrow 12(x+1)(x-1)=0 \Leftrightarrow x_{1}=-1 ; x_{2}=1
\)
Найдем третью производную заданной функции и проверим её значение в найденных точках
\(\
y^{\prime \prime \prime}=\left(12 x^{2}-12\right)^{\prime}=24 x
\)
\(\
y^{\prime \prime \prime}(-1)=-24 \neq 0 ; y^{\prime \prime \prime}(1)=24 \neq 0
\)
Следовательно, в точках \(\
x_{1}=-1 ; x_{2}=1
\) функция \(\
y=x^{4}-6 x^{2}+4
\) имеет перегиб. Найдем значение функции в этих точках:
\(\
y(-1)=(-1)^{4}-6 \cdot(-1)^{2}+4=-1 ; y(1)=1^{4}-6 \cdot 1^{2}+4=-1
\)
\(\
M_{1}(-1 ;-1) ; M_{2}(1 ;-1)
\) — точки перегиба.
ПРИМЕР 2
Найти точки перегиба функции \(\
f(x)=\sin x
\)
Найдем вторую производную заданной функции
\(\
f^{\prime}(x)=\cos x ; f^{\prime \prime}(x)=-\sin x
\)
Приравняем её к нулю и найдем корни полученного уравнения
\(\
-\sin x=0 \Leftrightarrow x=\pi k, \quad k \in Z
\)
В промежутках \(\
(2 \pi k ; \pi+2 \pi k)
\), \(\
k \in Z
\) функция \(\
f(x)=\sin x
\) принимает положительные значения, следовательно \(\
f^{\prime \prime}(x)=-\sin x<0
\) , а в промежутках \(\
(\pi+2 \pi k ; 2 \pi+2 \pi k)
\), \(\
k \in Z
\), \(\
\sin x<0 \Rightarrow f^{\prime \prime}(x)>0
\). Значит, в точках \(\
x=\pi k
\), \(\
k \in 2
\) вторая производная меняет знак и в этих точках график функции \(\
f(x)=\sin x
\) имеет перегиб.
\(\
x=\pi k
\), \(\
k \in Z
\)— точки перегиба.