Узнать цену работы
Статьи по теме

Тригонометрическая форма записи комплексного числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Тригонометрическая форма комплексного числа \(\ z=x+i y \), не равная нулю, является обозначением \(\ z=r(\cos \varphi+i \sin \varphi) \) , где \(\ r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \) является модулем комплексного числа \(\ z \).

Кроме того, в зависимости от решаемой задачи вы можете перевести комплексное число в алгебраическую или экспоненциальную.

ПРИМЕР

  • Задача Чтобы выразить число \(\ z=1-i \) в тригонометрической форме.

  • Решение. Действительной частью комплексного числа \(\ z=1-i \) является число \(\ x=\operatorname{Re} z=1 \) . Мнимая часть \(\ y=\operatorname{Im} \),\(\ z=-1 \) . Чтобы найти тригонометрическую форму написания сложного числа, вам нужно найти его модуль и аргумент.

    Модуль комплексного числа z является числом

    \(\ r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2} \)

    Аргумент вычисляется по формуле:

    \(\ \varphi=\arg z=\operatorname{arctg} \frac{y}{x}=\operatorname{arctg} \frac{-1}{1}=\operatorname{arctg}(-1)=-\frac{\pi}{4} \)

    Следовательно, тригонометрическая форма комплексного числа:

    \(\ z=\sqrt{2}\left(\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) \)

  • Ответ: \(\ z=\sqrt{2}\left(\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) \)

    Геометрическое представление комплексного числа

    Если мы рассмотрим плоскость с прямоугольной системой координат, то любое комплексное число \(\ z=x+i y \) можно связать с точкой на этой плоскости с соответствующими координатами \(\ \{x, y\} \) и радиус-вектором \(\ r \) комплексного числа, т. е. A вектор, соединяющий начало координат с точкой на плоскости, соответствующей числу (рис.1). Эта плоскость называется комплексной. Реальные числа расположены на горизонтальной (вещественной) оси, мнимые части - на вертикальной (мнимой) оси.

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ

    Модуль комплексного числа \(\ z=x+i y \) является выражением \(\ r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \).

    ПРИМЕР

  • Задача

    Найти модуль числа \(\ z=3-25 i \).

  • Решение.

    Действительной частью комплексного числа \(\ z=3-25 i \) является число \(\ x=\operatorname{Re} \), \(\ z=3 \), мнимая часть \(\ y=\operatorname{Im} \), \(\ z=-25 \) . Следовательно, модуль числа

    \(\ r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{3^{2}+(-25)^{2}}=\sqrt{634} \)

  • Ответ

    \(\ r=\sqrt{634} \)

    Если \(\ z \) - действительное число, то его модуль равен \(\ r=|z| \) равной абсолютному значению этого действительного числа.

    Например: \(\ z=-7, r=|-7|=7 \)

    Свойства модуля

    1. \(\ |z| \geq 0 \)

    2. \(\ |z|=0 \)тогда и только тогда, когда \(\ z=0 \)

    3. \(\ \left|z_{1}+z_{2}\right| \leq\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right| \)

    4. \(\ \left|z_{1} \cdot z_{2}\right|=\left|z_{1}\right| \cdot\left|z_{2}\right| \)

    5. \(\ \left|z_{1} \div z_{2}\right|=\left|z_{1}\right| \div\left|z_{2}\right| \)

    6. \(\ \left|z_{1}-z_{2}\right|=\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}} \) т. е. Модуль разности комплексных чисел равен расстоянию между этими числами на комплексной плоскости.

    ПРИМЕР

  • Задача

    Найти произведение модулей комплексных чисел \(\ z_{1}=1-i \), \(\ z_{2}=25 i \).

  • Решение.

    Модуль комплексного числа $\(\ z l=1-i \) равен \(\ r_{1}=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2} \) , модуль комплексного числа \(\ z 2=25 i \) равен \(\ r_{2}=\sqrt{0^{2}+25^{2}}=25 \) . Следовательно,

    \(\ r_{1} \cdot r_{2}=25 \sqrt{2} \)

  • Ответ

    \(\ r_{1} \cdot r_{2}=25 \sqrt{2} \)

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ

    Угол \(\ \varphi \) (измеренный в радианах) радиус-вектора точки, который соответствует комплексному числу \(\ z \) на комплексной плоскости, называется аргументом числа \(\ z : \varphi=\arg z \) . В этом случае вещественные числа \(\ x \), y комплексного числа \(\ z=x+i y \) могут быть выражены через модуль \(\ \mathbf{r} \) и аргумент \(\ \varphi : x=r \cos \varphi, y=r \sin \varphi \)

    Свойства аргумента \(\ \operatorname{tg} \varphi=\frac{y}{x} \),\(\ \operatorname{ctg} \varphi=\frac{x}{y} \), \(\ \sin \varphi=\frac{y}{r} \)

    Для комплексного числа \(\ z \neq 0 \) аргумент определяется с точностью до \(\ 2 \pi n, n \in Z \)

    При \(\ z=0 \) значение аргумента не определено.

    Основным значением аргумента является число \(\ \varphi \in(-\pi ; \pi] \) . Для инверсии следующего свойства: \(\ \arg \left(\frac{1}{z}\right)=-\arg z \)

    Действия комплексных чисел в тригонометрической форме сравнение

    Два комплексных числа \(\ z_{1}=r_{1}\left(\cos \varphi_{1}+i \sin \varphi_{1}\right) \) и \(\ z_{2}=r_{2}\left(\cos \varphi_{2}+i \sin \varphi_{2}\right) \) называются равными, если \(\ \left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right| \), \(\ \arg z_{1}=\arg z_{2}+2 \pi n \), \(\ n \in Z \)

    умножение

    Для произведения комплексных чисел в тригонометрической форме справедливо равенство:

    \(\ z_{1} \cdot z_{2}=r_{1} \cdot r_{2}\left(\cos \left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)+i \sin \left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)\right) \)

    ПРИМЕР

  • Задача

    Найдите произведение комплексных чисел \(\ z_{1}=\sqrt{2}\left(\cos \left(-\frac{\pi}{2}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) \) и \(\ z_{2}=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right) \).

  • Решение.

    Комплекс комплексных чисел:

    \(\ z_{1} \cdot z_{2}=r_{1} \cdot r_{2}\left(\cos \left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)+i \sin \left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)\right)= \)

    \(\ =\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}\left(\cos \left(-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right)=2\left(\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) \)

  • Ответ

    \(\ z_{1} \cdot z_{2}=2\left(\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) \)

    Подробнее о умножении комплексных чисел читайте в отдельной статье: Умножение комплексных чисел. разделение

    Фактор комплексных чисел в тригонометрической форме выполняется по формуле:

    \(\ z_{1} \div z_{2}=\frac{r_{1}}{r_{2}}\left(\cos \left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)+i \sin \left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)\right) \) Возведение

    Для поднятия до степени комплексных чисел в тригонометрической форме справедлива формула:

    \(\ z^{k}=r^{k}(\cos k \varphi+i \sin k \varphi) \)

  • Узнать цену работы

    Узнай цену

    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ