Тригонометрические формулы
Тригонометрия буквально означает измерение треугольников. Но это следует понимать как решение треугольников, т. Е. Определение их сторон, углов или других элементов. Появление тригонометрии связано с измерением земли, астрономией и строительством.
Основные тригонометрические формулы
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Тригонометрическое тождество есть уравнение, которое включает тригонометрические функции и удовлетворяет произвольным допустимым значениям угла. Между тригонометрическими функциями одного и того же произвольного аргумента существуют следующие соотношения:
Основное тригонометрическое тождество \(\
\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1
\)
\(\
\operatorname{tg} \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
\), \(\
\operatorname{ctg} \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}
\), \(\
\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha=1
\)
\(\
\sec \alpha=\frac{1}{\cos \alpha}
\), \(\
\csc \alpha=\frac{1}{\sin \alpha}
\)
\(\
1+\operatorname{tg}^{2} \alpha=\frac{1}{\cos ^{2} \alpha}
\), \(\
1+\operatorname{ctg}^{2} \alpha=\frac{1}{\sin ^{2} \alpha}
\)
Эти тождества используются для преобразования тригонометрических выражений; позволяют по значению одной из тригонометрических функций находить значения всех остальных.
ПРИМЕР
Найти \(\
\operatorname{tg} \alpha
\) , если известно, что
\(\
\sin \alpha=\frac{1}{3}
\), \(\
\cos \alpha=-\frac{2 \sqrt{2}}{3}
\)
Используя тригонометрическую формулу \(\
\operatorname{tg} \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
\) , получим, что искомое значение
\(\
\operatorname{tg} \alpha=\frac{\frac{1}{3}}{-\frac{2 \sqrt{2}}{3}}=-\frac{1}{2 \sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{4}
\)
\(\
\operatorname{tg} \alpha=-\frac{\sqrt{2}}{4}
\)
Признаки тригонометрических функций
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Синус угла \(\
\alpha
\) является ординатой (т. е. Координатой у) точки на единичной тригонометрической окружности, которая возникает, когда радиус поворачивается на указанный угол \(\
a
\):
\(\
\sin \alpha=y
\)
Отсюда можно заключить, что значения синусов углов в первом и втором четверти положительны (поскольку ординаты точек в этих четвертях больше нуля), а значения в третьем и четвертом кварталах отрицательны.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Косинус угла \(\
\alpha
\) является абсциссой - координата x является точкой на единичной окружности, которая возникает, когда радиус поворачивается на угол \(\
\alpha
\):
\(\
\cos \alpha=x
\)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Тангенсом угла \(\
\alpha
\) является отношение синуса к косинусу:
\(\
\operatorname{tg} \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{y}{x}
\)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Котангенсом угла \(\
\alpha
\) является отношение косинуса к синусоидальному:
\(\
\operatorname{ctg} \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}=\frac{x}{y}
\)
Знак тригонометрической функции зависит только от координатного квартала, в котором находится числовой аргумент.
ПРИМЕР
В каком квартале находится угол \(\
\alpha
\) , если известно, что его синус положителен, а косинус отрицателен?
Синус некоторого угла положительно, если угол находится в первом или втором координатах, а косинус отрицателен во втором и третьем кварталах. То есть, в то же время синус положителен, а косинус отрицателен, если угол \(\
\alpha
\) лежит во второй четверти, т. е. Если \(\
\alpha \in\left(\frac{\pi}{2} ; \pi\right)
\)
\(\
\alpha \in\left(\frac{\pi}{2} ; \pi\right)
\) - это угол второй четверти.
Формулы, выражающие тригонометрические функции
через другие тригонометрические функции
Эти формулы позволяют найти одну тригонометрическую функцию угла \(\
\alpha
\) , если известна любая другая известная функция этого угла. Используется в упрощениях и расчетах:
\(\
\sin \alpha=\mp \sqrt{1-\cos ^{2} \alpha}=\mp \frac{\operatorname{tg} \alpha}{\sqrt{1+\operatorname{tg}^{2} \alpha}}=\mp \frac{1}{\sqrt{1+\operatorname{ctg}^{2} \alpha}}
\)
\(\
\cos \alpha=\mp \sqrt{1-\sin ^{2} \alpha}=\mp \frac{1}{\sqrt{1+\operatorname{tg}^{2} \alpha}}=\mp \frac{\operatorname{ctg} \alpha}{\sqrt{1+\operatorname{ctg}^{2} \alpha}}
\)
\(\
\operatorname{tg} \alpha=\mp \frac{\sin \alpha}{\sqrt{1-\sin ^{2} \alpha}}=\mp \frac{\sqrt{1-\cos ^{2} \alpha}}{\cos \alpha}=\frac{1}{\operatorname{ctg} \alpha}
\)
\(\
\operatorname{ctg} \alpha=\mp \frac{\sqrt{1-\sin ^{2} \alpha}}{\sin \alpha}=\mp \frac{\cos \alpha}{\sqrt{1-\cos ^{2} \alpha}}=\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha}
\)
ПРИМЕР
Найти \(\
\sin \alpha
\) и \(\
\cos \alpha
\) , если известно, что
\(\
\operatorname{tg} \alpha=\frac{3}{4}
\), \(\
0<\alpha<\frac{\pi}{2}
\)
Так как \(\
0<\alpha<\frac{\pi}{2}
\), это означает, что угол \(\
\mathrm{Cx}
\) является углом первой четверти, в которой синус и косинус положительны.
Чтобы найти синус, воспользуемся формулой
\(\
\sin \alpha=\pm \frac{\operatorname{tg} \alpha}{\sqrt{1+\operatorname{tg}^{2} \alpha}}
\)
Мы оставляем только знак «+», так как угол лежит в первой четверти:
\(\
\sin \alpha=\frac{\operatorname{tg} \alpha}{\sqrt{1+\operatorname{tg}^{2} \alpha}}=\frac{\frac{3}{4}}{\sqrt{1+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}}}=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}}=\frac{3}{5}
\)
Косинус определяется по формуле \(\
\cos \alpha=\pm \sqrt{1-\sin ^{2} \alpha}
\) (так как косинус положителен, то мы оставляем только знак «+»). Тогда мы имеем:
\(\
\cos \alpha=\sqrt{1-\sin ^{2} \alpha}=\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^{2}}=\frac{4}{5}
\)
\(\
\sin \alpha=\frac{3}{5}, \cos \alpha=\frac{4}{5}
\) Формулы, выражающие тригонометрические функции
через касательную половины аргумента
Эти формулы находят широкое применение в интегральном исчислении.
\(\
\sin \alpha=\frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1+\operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}
\), \(\
\sin \alpha=\frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1+\operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}
\)
\(\
\cos \alpha=\frac{1-\operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}{1+\operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}
\), \(\
\operatorname{ctg} \alpha=\frac{1-\operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}
\)
ПРИМЕР
Знание того, что \(\
\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}=1
\) , найти \(\
\cos \alpha
\)
Используйте формулу
\(\
\cos \alpha=\frac{1-\operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}{1+\operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}
\)
Буду иметь:
\(\
\cos \alpha=\frac{1-1^{2}}{1+1^{2}}=0
\)
\(\
\cos \alpha=0
\)
Формулы для двойных и тройных аргументов
Данные формулы довольно легко получить при помощи формул сложения аргументов тригонометрических функций, заменой \(\
\beta
\) на \(\
\alpha
\) . Используются при тригонометрических упрощениях и преобразованиях.
Синус двойного угла: \(\
\sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cos \alpha
\)
Косинус двойного угла: \(\
\cos 2 \alpha=\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha=2 \cos ^{2} \alpha-1=1-2 \sin ^{2} \alpha
\)
\(\
\operatorname{tg} 2 \alpha=\frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1-\operatorname{tg}^{2} \alpha}
\), \(\
\operatorname{tg}^{2} \alpha=\frac{1-\cos 2 \alpha}{1+\cos 2 \alpha}
\)
\(\
\operatorname{ctg} 2 \alpha=\frac{\operatorname{ctg}^{2} \alpha-1}{2 \operatorname{ctg} \alpha}
\)
\(\
\sin 3 \alpha=3 \sin \alpha-4 \sin ^{3} \alpha
\), \(\
\cos 3 \alpha=4 \cos ^{3} \alpha-3 \cos \alpha
\)
\(\
\operatorname{tg} 3 \alpha=\frac{3 \operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg}^{3} \alpha}{1-3 \operatorname{tg}^{2} \alpha}
\), \(\
\operatorname{ctg} 3 \alpha=\frac{3 \operatorname{ctg} \alpha-\operatorname{ctg}^{3} \alpha}{1-3 \operatorname{ctg}^{2} \alpha}
\)
ПРИМЕР
Упростить выражение \(\
A=(\sin \alpha+\cos \alpha)^{2}-\sin 2 \alpha
\)
Вначале упростим выражение \(\
(\sin \alpha+\cos \alpha)^{2}
\) , которое представляет собой квадрат суммы. Раскроем это выражение по формуле:
\(\
(\sin \alpha+\cos \alpha)^{2}=\sin ^{2} \alpha+2 \sin \alpha \cos \alpha+\cos ^{2} \alpha=\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha+2 \sin \alpha \cos \alpha
\)
Сумма \(\
\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha
\) по основному тригонометрическому тождеству равна 1, а последнее слагаемое сворачиваем по формуле «синус двойного угла». Тогда будем иметь:
\(\
(\sin \alpha+\cos \alpha)^{2}=1+\sin 2 \alpha
\)
Итак,
\(\
A=(\sin \alpha+\cos \alpha)^{2}-\sin 2 \alpha=1+\sin 2 \alpha-\sin 2 \alpha=1
\)
\(\
\mathrm{A}=1
\)
Формулы половинного аргумента
Названные формулы выражают функции половинного аргумента \(\
\frac{\alpha}{2}
\) через тригонометрические функции аргумента \(\
\alpha
\) . При меняются в тригонометрических преобразованиях.
\(\
\sin \frac{\alpha}{2}=\mp \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{2}}
\)
\(\
\cos \frac{\alpha}{2}=\mp \sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}}
\)
\(\
\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}=\mp \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}}=\frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}=\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}
\)
\(\
\operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2}=\mp \sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{1-\cos \alpha}}=\frac{1+\cos \alpha}{\sin \alpha}=\frac{\sin \alpha}{1-\cos \alpha}
\)
ПРИМЕР
Найти \(\
_{1} \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}
\) , если известно, что \(\
\sin \alpha=\frac{1}{2}
\) и \(\
\alpha
\)– угол первой четверти.
Для нахождения нужного значения воспользуемся формулой
\(\
\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}=\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}
\)
Найдем косинус угла. Из основного тригонометрического тождества получаем, что
\(\
\cos \alpha=\pm \sqrt{1-\sin ^{2} \alpha}
\)
Так как \(\
\alpha
\)– угол первой четверти, то в этой четверти косинус положительный и тогда
\(\
\cos \alpha=\sqrt{1-\sin ^{2} \alpha}=\sqrt{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}
\)
А отсюда имеем, что
\(\
\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}=\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}
\)
\(\
\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}
\)
Формулы сложения и вычитания аргументов
Тригонометрические формулы сложения и вычитания углов представляют собой тригонометрические уравнения, в которых в качестве аргумента тригонометрической функции выступает сумма или разность двух \(\
\alpha
\) и \(\
\beta
\) . Данные формулы позволяют по известным тригонометрическим функциям аргументов \(\
\alpha
\) и \(\
\beta
\) определять значения этих функций для сумм или разностей указанных аргументов.
\(\
\sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta
\)
\(\
\sin (\alpha-\beta)=\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta
\)
\(\
\cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta
\)
\(\
\cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta
\)
\(\
\operatorname{tg}(\alpha+\beta)=\frac{\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta}{1-\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}
\)
\(\
\operatorname{tg}(\alpha-\beta)=\frac{\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta}{1+\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}
\)
\(\
\operatorname{ctg}(\alpha+\beta)=\frac{\operatorname{ctg} \alpha \operatorname{ctg} \beta-1}{\operatorname{ctg} \alpha+\operatorname{ctg} \beta}
\)
\(\
\operatorname{ctg}(\alpha-\beta)=\frac{\operatorname{ctg} \alpha \operatorname{ctg} \beta+1}{\operatorname{ctg} \alpha-\operatorname{ctg} \beta}
\)
ПРИМЕР
Найти значение выражения \(\
\sin 37^{\circ} \cos 23^{\circ}+\cos 37^{\circ} \sin 23^{\circ}
\)
Применим формулу «синус суммы» справа налево, то есть в виде
\(\
\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta=\sin (\alpha+\beta)
\)
Тогда будем иметь, что
\(\
\sin 37^{\circ} \cos 23^{\circ}+\cos 37^{\circ} \sin 23^{\circ}=\sin \left(37^{\circ}+23^{\circ}\right)=\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}
\)
\(\
\sin 37^{\circ} \cos 23^{\circ}+\cos 37^{\circ} \sin 23^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}
\)
Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение
Сумма (и разность) тригонометрических функций преобразуется в произведение функций от других аргументов по следующим формулам, которые выводятся из теорем сложения, а также определений тангенса и котангенса:
\(\
\sin \alpha+\sin \beta=2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}
\)
\(\
\sin \alpha-\sin \beta=2 \sin \frac{\alpha-\beta}{2} \cos \frac{\alpha+\beta}{2}
\)
\(\
\cos \alpha+\cos \beta=2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}
\)
\(\
\cos \alpha-\cos \beta=-2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}
\)
\(\
\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta=\frac{\sin (\alpha+\beta)}{\cos \alpha \cos \beta}
\)
\(\
\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta=\frac{\sin (\alpha-\beta)}{\cos \alpha \cos \beta}
\)
\(\
\operatorname{ctg} \alpha+\operatorname{ctg} \beta=\frac{\sin (\alpha+\beta)}{\sin \alpha \sin \beta}
\)
\(\
\operatorname{ctg} \alpha-\operatorname{ctg} \beta=-\frac{\sin (\alpha-\beta)}{\sin \alpha \sin \beta}=\frac{\sin (\beta-\alpha)}{\sin \alpha \sin \beta}
\)
\(\
\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{ctg} \alpha=\frac{2}{\sin 2 \alpha}
\)
\(\
\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{ctg} \alpha=-2 \operatorname{ctg} 2 \alpha
\)
\(\
\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{ctg} \beta=\frac{\cos (\alpha-\beta)}{\cos \alpha \sin \beta}
\)
\(\
\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{ctg} \beta=-\frac{\cos (\alpha+\beta)}{\cos \alpha \sin \beta}
\)
\(\
\sin \alpha+\sin 3 \alpha+\ldots+\sin (2 n-1) \alpha=\sin n \alpha, n \in Z
\)
\(\
\cos \alpha+\cos 3 \alpha+\ldots+\cos (2 n-1) \alpha=\cos n \alpha, n \in Z
\)
Формулы для разложения тригонометрических выражений на множители.
ПРИМЕР
Разложить на множители \(\
\sin 2 \alpha+\sin \alpha
\)
Применим формулу «сумма синусов»:
\(\
\sin \alpha+\sin \beta=2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}
\)
Тогда
\(\
\sin 2 \alpha+\sin \alpha=2 \sin \frac{2 \alpha+\alpha}{2} \cos \frac{2 \alpha-\alpha}{2}=2 \sin \frac{3 \alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}
\)
\(\
\sin 2 \alpha+\sin \alpha=2 \sin \frac{3 \alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}
\)
Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму
Эти формулы получаются из сложения/вычитания соответствующих формул сложения и вычитания аргументов и дальнейшего упрощения:
\(\
\sin \alpha \sin \beta=\frac{\cos (\alpha-\beta)-\cos (\alpha+\beta)}{2}
\)
\(\
\sin \alpha \cos \beta=\frac{\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)}{2}
\)
\(\
\cos \alpha \cos \beta=\frac{\cos (\alpha-\beta)+\cos (\alpha+\beta)}{2}
\)
Используются при тригонометрических преобразованиях.
ПРИМЕР
Преобразовать в сумму произведение \(\
\sin 43^{\circ} \cos 17^{\circ}
\)
Используем формулу
\(\
\sin \alpha \cos \beta=\frac{\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)}{2}
\)
Тогда будем иметь:
\(\
\sin 43^{\circ} \cos 17^{\circ}=\frac{\sin \left(43^{\circ}+17^{\circ}\right)+\sin \left(43^{\circ}-17^{\circ}\right)}{2}=\frac{\sin 60^{\circ}+\sin 26^{\circ}}{2}=
\)
\(\
=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}+\sin 26^{\circ}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{\sin 26^{\circ}}{2}
\)
\(\
\sin 43^{\circ} \cos 17^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{\sin 26^{\circ}}{2}
\)
Формулы понижения степени тригонометрических функций
Данные формулы используются при различных тригонометрических преобразованиях:
\(\
\sin ^{2} \alpha=\frac{1-\cos 2 \alpha}{2}
\)
\(\
\sin ^{2} \frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos \alpha}{2}
\)
\(\
\sin ^{3} \alpha=\frac{3 \sin \alpha-\sin 3 \alpha}{4}
\)
\(\
\cos ^{2} \alpha=\frac{1+\cos 2 \alpha}{2}
\)
\(\
\cos ^{2} \frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos \alpha}{2}
\)
\(\
\cos ^{3} \alpha=\frac{3 \cos \alpha+\cos 3 \alpha}{4}
\)
ПРИМЕР
Найти значение выражения \(\
\sin ^{2} 15^{\circ}
\)
Согласно формуле
\(\
\sin ^{2} \alpha=\frac{1-\cos 2 \alpha}{2}
\)
имеем, что
\(\
\sin ^{2} 15^{\circ}=\frac{1-\cos \left(2 \cdot 15^{\circ}\right)}{2}=\frac{1-\cos 30^{\circ}}{2}=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{2-\sqrt{3}}{4}
\)
\(\
\sin ^{2} 15^{\circ}=\frac{2-\sqrt{3}}{4}
\)
Другие формулы
\(\
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\cos \alpha+\sin \alpha=\sqrt{2} \cos \left(45^{\circ}-\alpha\right)& \cos \alpha-\sin \alpha=\sqrt{2} \sin \left(45^{\circ}-\alpha\right)\\ \hline
1+\sin \alpha=2 \cos ^{2}\left(45^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)& 1-\sin \alpha=2 \sin ^{2}\left(45^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)\\ \hline
1+\cos \alpha=2 \cos ^{2} \frac{\alpha}{2}& 1-\cos \alpha=2 \sin ^{2} \frac{\alpha}{2}\\ \hline
1+\operatorname{tg} \alpha=\frac{\sqrt{2} \sin \left(45^{\circ}+\alpha\right)}{\cos \alpha}& 1-\operatorname{tg} \alpha=\frac{\sqrt{2} \sin \left(45^{\circ}-\alpha\right)}{\cos \alpha}\\ \hline
1-\operatorname{tg}^{2} \alpha=\frac{\cos 2 \alpha}{\cos ^{2} \alpha}& 1-\operatorname{ctg}^{2} \alpha=-\frac{\cos 2 \alpha}{\sin ^{2} \alpha}\\ \hline
1+\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta=\frac{\cos (\alpha-\beta)}{\cos \alpha \cos \beta}& 1-\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta=\frac{\cos (\alpha+\beta)}{\cos \alpha \cos \beta}\\ \hline
\operatorname{ctg} \operatorname{actg} \beta+1=\frac{\cos (\alpha-\beta)}{\sin \alpha \sin \beta}& \operatorname{ctg} \alpha \operatorname{ctg} \beta-1=\frac{\cos (\alpha+\beta)}{\sin \alpha \sin \beta}\\ \hline
\operatorname{tg}^{2} \alpha-\operatorname{tg}^{2} \beta=\frac{\sin (\alpha+\beta) \sin (\alpha-\beta)}{\cos ^{2} \alpha \cos ^{2} \beta}& \operatorname{ctg}^{2} \alpha-\operatorname{ctg}^{2} \beta=-\frac{\sin (\alpha+\beta) \sin (\alpha-\beta)}{\sin ^{2} \alpha \sin ^{2} \beta}\\ \hline
\operatorname{ctg}^{2} \alpha-\operatorname{tg}^{2} \beta=\frac{\cos (\alpha+\beta) \cos (\alpha-\beta)}{\sin ^{2} \alpha \cos ^{2} \beta}&\\ \hline
\end{array}
\)