Узнать цену работы
Статьи по теме

Тригонометрические формулы

Тригонометрия буквально означает измерение треугольников. Но это следует понимать как решение треугольников, т. Е. Определение их сторон, углов или других элементов. Появление тригонометрии связано с измерением земли, астрономией и строительством.

Основные тригонометрические формулы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Тригонометрическое тождество есть уравнение, которое включает тригонометрические функции и удовлетворяет произвольным допустимым значениям угла. Между тригонометрическими функциями одного и того же произвольного аргумента существуют следующие соотношения:

Основное тригонометрическое тождество \(\ \sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1 \)

\(\ \operatorname{tg} \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \), \(\ \operatorname{ctg} \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \), \(\ \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha=1 \)

\(\ \sec \alpha=\frac{1}{\cos \alpha} \), \(\ \csc \alpha=\frac{1}{\sin \alpha} \)

\(\ 1+\operatorname{tg}^{2} \alpha=\frac{1}{\cos ^{2} \alpha} \), \(\ 1+\operatorname{ctg}^{2} \alpha=\frac{1}{\sin ^{2} \alpha} \)

Эти тождества используются для преобразования тригонометрических выражений; позволяют по значению одной из тригонометрических функций находить значения всех остальных.

ПРИМЕР

  • Задача

    Найти \(\ \operatorname{tg} \alpha \) , если известно, что

    \(\ \sin \alpha=\frac{1}{3} \), \(\ \cos \alpha=-\frac{2 \sqrt{2}}{3} \)

  • Решение.

    Используя тригонометрическую формулу \(\ \operatorname{tg} \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \) , получим, что искомое значение

    \(\ \operatorname{tg} \alpha=\frac{\frac{1}{3}}{-\frac{2 \sqrt{2}}{3}}=-\frac{1}{2 \sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{4} \)

  • Ответ

    \(\ \operatorname{tg} \alpha=-\frac{\sqrt{2}}{4} \)

    Признаки тригонометрических функций

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ

    Синус угла \(\ \alpha \) является ординатой (т. е. Координатой у) точки на единичной тригонометрической окружности, которая возникает, когда радиус поворачивается на указанный угол \(\ a \):

    \(\ \sin \alpha=y \)

    Отсюда можно заключить, что значения синусов углов в первом и втором четверти положительны (поскольку ординаты точек в этих четвертях больше нуля), а значения в третьем и четвертом кварталах отрицательны.

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ

    Косинус угла \(\ \alpha \) является абсциссой - координата x является точкой на единичной окружности, которая возникает, когда радиус поворачивается на угол \(\ \alpha \):

    \(\ \cos \alpha=x \)

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ

    Тангенсом угла \(\ \alpha \) является отношение синуса к косинусу:

    \(\ \operatorname{tg} \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{y}{x} \)

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ

    Котангенсом угла \(\ \alpha \) является отношение косинуса к синусоидальному:

    \(\ \operatorname{ctg} \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}=\frac{x}{y} \)

    Знак тригонометрической функции зависит только от координатного квартала, в котором находится числовой аргумент.

    ПРИМЕР

  • Задача.

    В каком квартале находится угол \(\ \alpha \) , если известно, что его синус положителен, а косинус отрицателен?

  • Решение

    Синус некоторого угла положительно, если угол находится в первом или втором координатах, а косинус отрицателен во втором и третьем кварталах. То есть, в то же время синус положителен, а косинус отрицателен, если угол \(\ \alpha \) лежит во второй четверти, т. е. Если \(\ \alpha \in\left(\frac{\pi}{2} ; \pi\right) \)

  • Ответ

    \(\ \alpha \in\left(\frac{\pi}{2} ; \pi\right) \) - это угол второй четверти.

    Формулы, выражающие тригонометрические функции

    через другие тригонометрические функции

    Эти формулы позволяют найти одну тригонометрическую функцию угла \(\ \alpha \) , если известна любая другая известная функция этого угла. Используется в упрощениях и расчетах:

    \(\ \sin \alpha=\mp \sqrt{1-\cos ^{2} \alpha}=\mp \frac{\operatorname{tg} \alpha}{\sqrt{1+\operatorname{tg}^{2} \alpha}}=\mp \frac{1}{\sqrt{1+\operatorname{ctg}^{2} \alpha}} \)

    \(\ \cos \alpha=\mp \sqrt{1-\sin ^{2} \alpha}=\mp \frac{1}{\sqrt{1+\operatorname{tg}^{2} \alpha}}=\mp \frac{\operatorname{ctg} \alpha}{\sqrt{1+\operatorname{ctg}^{2} \alpha}} \)

    \(\ \operatorname{tg} \alpha=\mp \frac{\sin \alpha}{\sqrt{1-\sin ^{2} \alpha}}=\mp \frac{\sqrt{1-\cos ^{2} \alpha}}{\cos \alpha}=\frac{1}{\operatorname{ctg} \alpha} \)

    \(\ \operatorname{ctg} \alpha=\mp \frac{\sqrt{1-\sin ^{2} \alpha}}{\sin \alpha}=\mp \frac{\cos \alpha}{\sqrt{1-\cos ^{2} \alpha}}=\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} \)

    ПРИМЕР

  • Задача

    Найти \(\ \sin \alpha \) и \(\ \cos \alpha \) , если известно, что

    \(\ \operatorname{tg} \alpha=\frac{3}{4} \), \(\ 0<\alpha<\frac{\pi}{2} \)

  • Решение.

    Так как \(\ 0<\alpha<\frac{\pi}{2} \), это означает, что угол \(\ \mathrm{Cx} \) является углом первой четверти, в которой синус и косинус положительны.

    Чтобы найти синус, воспользуемся формулой

    \(\ \sin \alpha=\pm \frac{\operatorname{tg} \alpha}{\sqrt{1+\operatorname{tg}^{2} \alpha}} \)

    Мы оставляем только знак «+», так как угол лежит в первой четверти:

    \(\ \sin \alpha=\frac{\operatorname{tg} \alpha}{\sqrt{1+\operatorname{tg}^{2} \alpha}}=\frac{\frac{3}{4}}{\sqrt{1+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}}}=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}}=\frac{3}{5} \)

    Косинус определяется по формуле \(\ \cos \alpha=\pm \sqrt{1-\sin ^{2} \alpha} \) (так как косинус положителен, то мы оставляем только знак «+»). Тогда мы имеем:

    \(\ \cos \alpha=\sqrt{1-\sin ^{2} \alpha}=\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^{2}}=\frac{4}{5} \)

  • Ответ

    \(\ \sin \alpha=\frac{3}{5}, \cos \alpha=\frac{4}{5} \) Формулы, выражающие тригонометрические функции

    через касательную половины аргумента

    Эти формулы находят широкое применение в интегральном исчислении.

    \(\ \sin \alpha=\frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1+\operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}} \), \(\ \sin \alpha=\frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1+\operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}} \)

    \(\ \cos \alpha=\frac{1-\operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}{1+\operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}} \), \(\ \operatorname{ctg} \alpha=\frac{1-\operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}} \)

    ПРИМЕР

  • Задача

    Знание того, что \(\ \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}=1 \) , найти \(\ \cos \alpha \)

  • Решение

    Используйте формулу

    \(\ \cos \alpha=\frac{1-\operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}{1+\operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}} \)

    Буду иметь:

    \(\ \cos \alpha=\frac{1-1^{2}}{1+1^{2}}=0 \)

  • Ответ

    \(\ \cos \alpha=0 \)

    Формулы для двойных и тройных аргументов

    Данные формулы довольно легко получить при помощи формул сложения аргументов тригонометрических функций, заменой \(\ \beta \) на \(\ \alpha \) . Используются при тригонометрических упрощениях и преобразованиях.

    Синус двойного угла: \(\ \sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cos \alpha \)

    Косинус двойного угла: \(\ \cos 2 \alpha=\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha=2 \cos ^{2} \alpha-1=1-2 \sin ^{2} \alpha \)

    \(\ \operatorname{tg} 2 \alpha=\frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1-\operatorname{tg}^{2} \alpha} \), \(\ \operatorname{tg}^{2} \alpha=\frac{1-\cos 2 \alpha}{1+\cos 2 \alpha} \)

    \(\ \operatorname{ctg} 2 \alpha=\frac{\operatorname{ctg}^{2} \alpha-1}{2 \operatorname{ctg} \alpha} \)

    \(\ \sin 3 \alpha=3 \sin \alpha-4 \sin ^{3} \alpha \), \(\ \cos 3 \alpha=4 \cos ^{3} \alpha-3 \cos \alpha \)

    \(\ \operatorname{tg} 3 \alpha=\frac{3 \operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg}^{3} \alpha}{1-3 \operatorname{tg}^{2} \alpha} \), \(\ \operatorname{ctg} 3 \alpha=\frac{3 \operatorname{ctg} \alpha-\operatorname{ctg}^{3} \alpha}{1-3 \operatorname{ctg}^{2} \alpha} \)

    ПРИМЕР

  • Задание

    Упростить выражение \(\ A=(\sin \alpha+\cos \alpha)^{2}-\sin 2 \alpha \)

  • Решение

    Вначале упростим выражение \(\ (\sin \alpha+\cos \alpha)^{2} \) , которое представляет собой квадрат суммы. Раскроем это выражение по формуле:

    \(\ (\sin \alpha+\cos \alpha)^{2}=\sin ^{2} \alpha+2 \sin \alpha \cos \alpha+\cos ^{2} \alpha=\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha+2 \sin \alpha \cos \alpha \)

    Сумма \(\ \sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha \) по основному тригонометрическому тождеству равна 1, а последнее слагаемое сворачиваем по формуле «синус двойного угла». Тогда будем иметь:

    \(\ (\sin \alpha+\cos \alpha)^{2}=1+\sin 2 \alpha \)

    Итак,

    \(\ A=(\sin \alpha+\cos \alpha)^{2}-\sin 2 \alpha=1+\sin 2 \alpha-\sin 2 \alpha=1 \)

  • Ответ

    \(\ \mathrm{A}=1 \)

    Формулы половинного аргумента

    Названные формулы выражают функции половинного аргумента \(\ \frac{\alpha}{2} \) через тригонометрические функции аргумента \(\ \alpha \) . При меняются в тригонометрических преобразованиях.

    \(\ \sin \frac{\alpha}{2}=\mp \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{2}} \)

    \(\ \cos \frac{\alpha}{2}=\mp \sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}} \)

    \(\ \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}=\mp \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}}=\frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}=\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha} \)

    \(\ \operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2}=\mp \sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{1-\cos \alpha}}=\frac{1+\cos \alpha}{\sin \alpha}=\frac{\sin \alpha}{1-\cos \alpha} \)

    ПРИМЕР

  • Задание

    Найти \(\ _{1} \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} \) , если известно, что \(\ \sin \alpha=\frac{1}{2} \) и \(\ \alpha \)– угол первой четверти.

  • Решение

    Для нахождения нужного значения воспользуемся формулой

    \(\ \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}=\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha} \)

    Найдем косинус угла. Из основного тригонометрического тождества получаем, что

    \(\ \cos \alpha=\pm \sqrt{1-\sin ^{2} \alpha} \)

    Так как \(\ \alpha \)– угол первой четверти, то в этой четверти косинус положительный и тогда

    \(\ \cos \alpha=\sqrt{1-\sin ^{2} \alpha}=\sqrt{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2} \)

    А отсюда имеем, что

    \(\ \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}=\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{2+\sqrt{3}} \)

  • Ответ

    \(\ \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2+\sqrt{3}} \)

    Формулы сложения и вычитания аргументов

    Тригонометрические формулы сложения и вычитания углов представляют собой тригонометрические уравнения, в которых в качестве аргумента тригонометрической функции выступает сумма или разность двух \(\ \alpha \) и \(\ \beta \) . Данные формулы позволяют по известным тригонометрическим функциям аргументов \(\ \alpha \) и \(\ \beta \) определять значения этих функций для сумм или разностей указанных аргументов.

    \(\ \sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta \)

    \(\ \sin (\alpha-\beta)=\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta \)

    \(\ \cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta \)

    \(\ \cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta \)

    \(\ \operatorname{tg}(\alpha+\beta)=\frac{\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta}{1-\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} \)

    \(\ \operatorname{tg}(\alpha-\beta)=\frac{\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta}{1+\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} \)

    \(\ \operatorname{ctg}(\alpha+\beta)=\frac{\operatorname{ctg} \alpha \operatorname{ctg} \beta-1}{\operatorname{ctg} \alpha+\operatorname{ctg} \beta} \)

    \(\ \operatorname{ctg}(\alpha-\beta)=\frac{\operatorname{ctg} \alpha \operatorname{ctg} \beta+1}{\operatorname{ctg} \alpha-\operatorname{ctg} \beta} \)

    ПРИМЕР

  • Задание

    Найти значение выражения \(\ \sin 37^{\circ} \cos 23^{\circ}+\cos 37^{\circ} \sin 23^{\circ} \)

  • Решение

    Применим формулу «синус суммы» справа налево, то есть в виде

    \(\ \sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta=\sin (\alpha+\beta) \)

    Тогда будем иметь, что

    \(\ \sin 37^{\circ} \cos 23^{\circ}+\cos 37^{\circ} \sin 23^{\circ}=\sin \left(37^{\circ}+23^{\circ}\right)=\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2} \)

  • Ответ

    \(\ \sin 37^{\circ} \cos 23^{\circ}+\cos 37^{\circ} \sin 23^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2} \)

    Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение

    Сумма (и разность) тригонометрических функций преобразуется в произведение функций от других аргументов по следующим формулам, которые выводятся из теорем сложения, а также определений тангенса и котангенса:

    \(\ \sin \alpha+\sin \beta=2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} \)

    \(\ \sin \alpha-\sin \beta=2 \sin \frac{\alpha-\beta}{2} \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \)

    \(\ \cos \alpha+\cos \beta=2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} \)

    \(\ \cos \alpha-\cos \beta=-2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2} \)

    \(\ \operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta=\frac{\sin (\alpha+\beta)}{\cos \alpha \cos \beta} \)

    \(\ \operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta=\frac{\sin (\alpha-\beta)}{\cos \alpha \cos \beta} \)

    \(\ \operatorname{ctg} \alpha+\operatorname{ctg} \beta=\frac{\sin (\alpha+\beta)}{\sin \alpha \sin \beta} \)

    \(\ \operatorname{ctg} \alpha-\operatorname{ctg} \beta=-\frac{\sin (\alpha-\beta)}{\sin \alpha \sin \beta}=\frac{\sin (\beta-\alpha)}{\sin \alpha \sin \beta} \)

    \(\ \operatorname{tg} \alpha+\operatorname{ctg} \alpha=\frac{2}{\sin 2 \alpha} \)

    \(\ \operatorname{tg} \alpha+\operatorname{ctg} \alpha=-2 \operatorname{ctg} 2 \alpha \)

    \(\ \operatorname{tg} \alpha+\operatorname{ctg} \beta=\frac{\cos (\alpha-\beta)}{\cos \alpha \sin \beta} \)

    \(\ \operatorname{tg} \alpha-\operatorname{ctg} \beta=-\frac{\cos (\alpha+\beta)}{\cos \alpha \sin \beta} \)

    \(\ \sin \alpha+\sin 3 \alpha+\ldots+\sin (2 n-1) \alpha=\sin n \alpha, n \in Z \)

    \(\ \cos \alpha+\cos 3 \alpha+\ldots+\cos (2 n-1) \alpha=\cos n \alpha, n \in Z \)

    Формулы для разложения тригонометрических выражений на множители.

    ПРИМЕР

  • Задание

    Разложить на множители \(\ \sin 2 \alpha+\sin \alpha \)

  • Решение

    Применим формулу «сумма синусов»:

    \(\ \sin \alpha+\sin \beta=2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} \)

    Тогда

    \(\ \sin 2 \alpha+\sin \alpha=2 \sin \frac{2 \alpha+\alpha}{2} \cos \frac{2 \alpha-\alpha}{2}=2 \sin \frac{3 \alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \)

  • Ответ

    \(\ \sin 2 \alpha+\sin \alpha=2 \sin \frac{3 \alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \)

    Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму

    Эти формулы получаются из сложения/вычитания соответствующих формул сложения и вычитания аргументов и дальнейшего упрощения:

    \(\ \sin \alpha \sin \beta=\frac{\cos (\alpha-\beta)-\cos (\alpha+\beta)}{2} \)

    \(\ \sin \alpha \cos \beta=\frac{\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)}{2} \)

    \(\ \cos \alpha \cos \beta=\frac{\cos (\alpha-\beta)+\cos (\alpha+\beta)}{2} \)

    Используются при тригонометрических преобразованиях.

    ПРИМЕР

  • Задание

    Преобразовать в сумму произведение \(\ \sin 43^{\circ} \cos 17^{\circ} \)

  • Решение

    Используем формулу

    \(\ \sin \alpha \cos \beta=\frac{\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)}{2} \)

    Тогда будем иметь:

    \(\ \sin 43^{\circ} \cos 17^{\circ}=\frac{\sin \left(43^{\circ}+17^{\circ}\right)+\sin \left(43^{\circ}-17^{\circ}\right)}{2}=\frac{\sin 60^{\circ}+\sin 26^{\circ}}{2}= \)

    \(\ =\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}+\sin 26^{\circ}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{\sin 26^{\circ}}{2} \)

  • Ответ

    \(\ \sin 43^{\circ} \cos 17^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{\sin 26^{\circ}}{2} \)

    Формулы понижения степени тригонометрических функций

    Данные формулы используются при различных тригонометрических преобразованиях:

    \(\ \sin ^{2} \alpha=\frac{1-\cos 2 \alpha}{2} \)

    \(\ \sin ^{2} \frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos \alpha}{2} \)

    \(\ \sin ^{3} \alpha=\frac{3 \sin \alpha-\sin 3 \alpha}{4} \)

    \(\ \cos ^{2} \alpha=\frac{1+\cos 2 \alpha}{2} \)

    \(\ \cos ^{2} \frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos \alpha}{2} \)

    \(\ \cos ^{3} \alpha=\frac{3 \cos \alpha+\cos 3 \alpha}{4} \)

    ПРИМЕР

  • Задание

    Найти значение выражения \(\ \sin ^{2} 15^{\circ} \)

  • Решение

    Согласно формуле

    \(\ \sin ^{2} \alpha=\frac{1-\cos 2 \alpha}{2} \)

    имеем, что

    \(\ \sin ^{2} 15^{\circ}=\frac{1-\cos \left(2 \cdot 15^{\circ}\right)}{2}=\frac{1-\cos 30^{\circ}}{2}=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{2-\sqrt{3}}{4} \)

  • Ответ

    \(\ \sin ^{2} 15^{\circ}=\frac{2-\sqrt{3}}{4} \)

    Другие формулы \(\ \begin{array}{|c|c|} \hline \cos \alpha+\sin \alpha=\sqrt{2} \cos \left(45^{\circ}-\alpha\right)& \cos \alpha-\sin \alpha=\sqrt{2} \sin \left(45^{\circ}-\alpha\right)\\ \hline 1+\sin \alpha=2 \cos ^{2}\left(45^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)& 1-\sin \alpha=2 \sin ^{2}\left(45^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)\\ \hline 1+\cos \alpha=2 \cos ^{2} \frac{\alpha}{2}& 1-\cos \alpha=2 \sin ^{2} \frac{\alpha}{2}\\ \hline 1+\operatorname{tg} \alpha=\frac{\sqrt{2} \sin \left(45^{\circ}+\alpha\right)}{\cos \alpha}& 1-\operatorname{tg} \alpha=\frac{\sqrt{2} \sin \left(45^{\circ}-\alpha\right)}{\cos \alpha}\\ \hline 1-\operatorname{tg}^{2} \alpha=\frac{\cos 2 \alpha}{\cos ^{2} \alpha}& 1-\operatorname{ctg}^{2} \alpha=-\frac{\cos 2 \alpha}{\sin ^{2} \alpha}\\ \hline 1+\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta=\frac{\cos (\alpha-\beta)}{\cos \alpha \cos \beta}& 1-\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta=\frac{\cos (\alpha+\beta)}{\cos \alpha \cos \beta}\\ \hline \operatorname{ctg} \operatorname{actg} \beta+1=\frac{\cos (\alpha-\beta)}{\sin \alpha \sin \beta}& \operatorname{ctg} \alpha \operatorname{ctg} \beta-1=\frac{\cos (\alpha+\beta)}{\sin \alpha \sin \beta}\\ \hline \operatorname{tg}^{2} \alpha-\operatorname{tg}^{2} \beta=\frac{\sin (\alpha+\beta) \sin (\alpha-\beta)}{\cos ^{2} \alpha \cos ^{2} \beta}& \operatorname{ctg}^{2} \alpha-\operatorname{ctg}^{2} \beta=-\frac{\sin (\alpha+\beta) \sin (\alpha-\beta)}{\sin ^{2} \alpha \sin ^{2} \beta}\\ \hline \operatorname{ctg}^{2} \alpha-\operatorname{tg}^{2} \beta=\frac{\cos (\alpha+\beta) \cos (\alpha-\beta)}{\sin ^{2} \alpha \cos ^{2} \beta}&\\ \hline \end{array} \)

  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ