Узнать цену работы
Статьи по теме

Тригонометрические формулы

Тригонометрия буквально означает измерение треугольников. Но это следует понимать как решение треугольников, т. Е. Определение их сторон, углов или других элементов. Появление тригонометрии связано с измерением земли, астрономией и строительством.

Основные тригонометрические формулы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Тригонометрическое тождество есть уравнение, которое включает тригонометрические функции и удовлетворяет произвольным допустимым значениям угла. Между тригонометрическими функциями одного и того же произвольного аргумента существуют следующие соотношения:

Основное тригонометрическое тождество \(\ \sin ^

Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
\alpha+\cos ^
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
\alpha=1 \)

\(\ \operatorname{tg} \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \), \(\ \operatorname{ctg} \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \), \(\ \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha=1 \)

\(\ \sec \alpha=\frac

Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
{\cos \alpha} \), \(\ \csc \alpha=\frac
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
{\sin \alpha} \)

\(\ 1+\operatorname{tg}^

Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
\alpha=\frac
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
{\cos ^
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
\alpha} \), \(\ 1+\operatorname{ctg}^
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
\alpha=\frac
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
{\sin ^
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
\alpha} \)

Эти тождества используются для преобразования тригонометрических выражений; позволяют по значению одной из тригонометрических функций находить значения всех остальных.

ПРИМЕР

  • Задача

    Найти \(\ \operatorname{tg} \alpha \) , если известно, что

    \(\ \sin \alpha=\frac

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \), \(\ \cos \alpha=-\frac{2 \sqrt
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \)

  • Решение.

    Используя тригонометрическую формулу \(\ \operatorname{tg} \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \) , получим, что искомое значение

    \(\ \operatorname{tg} \alpha=\frac{\frac

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }{-\frac{2 \sqrt
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }=-\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {2 \sqrt
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }=-\frac{\sqrt
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }{4} \)

  • Ответ

    \(\ \operatorname{tg} \alpha=-\frac{\sqrt

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }{4} \)

    Признаки тригонометрических функций

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ

    Синус угла \(\ \alpha \) является ординатой (т. е. Координатой у) точки на единичной тригонометрической окружности, которая возникает, когда радиус поворачивается на указанный угол \(\ a \):

    \(\ \sin \alpha=y \)

    Отсюда можно заключить, что значения синусов углов в первом и втором четверти положительны (поскольку ординаты точек в этих четвертях больше нуля), а значения в третьем и четвертом кварталах отрицательны.

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ

    Косинус угла \(\ \alpha \) является абсциссой - координата x является точкой на единичной окружности, которая возникает, когда радиус поворачивается на угол \(\ \alpha \):

    \(\ \cos \alpha=x \)

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ

    Тангенсом угла \(\ \alpha \) является отношение синуса к косинусу:

    \(\ \operatorname{tg} \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{y}{x} \)

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ

    Котангенсом угла \(\ \alpha \) является отношение косинуса к синусоидальному:

    \(\ \operatorname{ctg} \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}=\frac{x}{y} \)

    Знак тригонометрической функции зависит только от координатного квартала, в котором находится числовой аргумент.

    ПРИМЕР

  • Задача.

    В каком квартале находится угол \(\ \alpha \) , если известно, что его синус положителен, а косинус отрицателен?

  • Решение

    Синус некоторого угла положительно, если угол находится в первом или втором координатах, а косинус отрицателен во втором и третьем кварталах. То есть, в то же время синус положителен, а косинус отрицателен, если угол \(\ \alpha \) лежит во второй четверти, т. е. Если \(\ \alpha \in\left(\frac{\pi}

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ; \pi\right) \)

  • Ответ

    \(\ \alpha \in\left(\frac{\pi}

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    ; \pi\right) \) - это угол второй четверти.

    Формулы, выражающие тригонометрические функции

    через другие тригонометрические функции

    Эти формулы позволяют найти одну тригонометрическую функцию угла \(\ \alpha \) , если известна любая другая известная функция этого угла. Используется в упрощениях и расчетах:

    \(\ \sin \alpha=\mp \sqrt{1-\cos ^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \alpha}=\mp \frac{\operatorname{tg} \alpha}{\sqrt{1+\operatorname{tg}^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \alpha}}=\mp \frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {\sqrt{1+\operatorname{ctg}^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \alpha}} \)

    \(\ \cos \alpha=\mp \sqrt{1-\sin ^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \alpha}=\mp \frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {\sqrt{1+\operatorname{tg}^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \alpha}}=\mp \frac{\operatorname{ctg} \alpha}{\sqrt{1+\operatorname{ctg}^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \alpha}} \)

    \(\ \operatorname{tg} \alpha=\mp \frac{\sin \alpha}{\sqrt{1-\sin ^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \alpha}}=\mp \frac{\sqrt{1-\cos ^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \alpha}}{\cos \alpha}=\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {\operatorname{ctg} \alpha} \)

    \(\ \operatorname{ctg} \alpha=\mp \frac{\sqrt{1-\sin ^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \alpha}}{\sin \alpha}=\mp \frac{\cos \alpha}{\sqrt{1-\cos ^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \alpha}}=\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {\operatorname{tg} \alpha} \)

    ПРИМЕР

  • Задача

    Найти \(\ \sin \alpha \) и \(\ \cos \alpha \) , если известно, что

    \(\ \operatorname{tg} \alpha=\frac

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {4} \), \(\ 0<\alpha<\frac{\pi}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \)

  • Решение.

    Так как \(\ 0<\alpha<\frac{\pi}

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \), это означает, что угол \(\ \mathrm{Cx} \) является углом первой четверти, в которой синус и косинус положительны.

    Чтобы найти синус, воспользуемся формулой

    \(\ \sin \alpha=\pm \frac{\operatorname{tg} \alpha}{\sqrt{1+\operatorname{tg}^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \alpha}} \)

    Мы оставляем только знак «+», так как угол лежит в первой четверти:

    \(\ \sin \alpha=\frac{\operatorname{tg} \alpha}{\sqrt{1+\operatorname{tg}^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \alpha}}=\frac{\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {4}}{\sqrt{1+\left(\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {4}\right)^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }}=\frac{\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {4}}{\frac{5}{4}}=\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {5} \)

    Косинус определяется по формуле \(\ \cos \alpha=\pm \sqrt{1-\sin ^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \alpha} \) (так как косинус положителен, то мы оставляем только знак «+»). Тогда мы имеем:

    \(\ \cos \alpha=\sqrt{1-\sin ^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \alpha}=\sqrt{1-\left(\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {5}\right)^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }=\frac{4}{5} \)

  • Ответ

    \(\ \sin \alpha=\frac

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {5}, \cos \alpha=\frac{4}{5} \) Формулы, выражающие тригонометрические функции

    через касательную половины аргумента

    Эти формулы находят широкое применение в интегральном исчислении.

    \(\ \sin \alpha=\frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }{1+\operatorname{tg}^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \frac{\alpha}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    } \), \(\ \sin \alpha=\frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }{1+\operatorname{tg}^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \frac{\alpha}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    } \)

    \(\ \cos \alpha=\frac{1-\operatorname{tg}^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \frac{\alpha}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }{1+\operatorname{tg}^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \frac{\alpha}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    } \), \(\ \operatorname{ctg} \alpha=\frac{1-\operatorname{tg}^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \frac{\alpha}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    } \)

    ПРИМЕР

  • Задача

    Знание того, что \(\ \operatorname{tg} \frac{\alpha}

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =1 \) , найти \(\ \cos \alpha \)

  • Решение

    Используйте формулу

    \(\ \cos \alpha=\frac{1-\operatorname{tg}^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \frac{\alpha}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }{1+\operatorname{tg}^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \frac{\alpha}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    } \)

    Буду иметь:

    \(\ \cos \alpha=\frac{1-1^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }{1+1^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }=0 \)

  • Ответ

    \(\ \cos \alpha=0 \)

    Формулы для двойных и тройных аргументов

    Данные формулы довольно легко получить при помощи формул сложения аргументов тригонометрических функций, заменой \(\ \beta \) на \(\ \alpha \) . Используются при тригонометрических упрощениях и преобразованиях.

    Синус двойного угла: \(\ \sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cos \alpha \)

    Косинус двойного угла: \(\ \cos 2 \alpha=\cos ^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \alpha-\sin ^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \alpha=2 \cos ^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \alpha-1=1-2 \sin ^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \alpha \)

    \(\ \operatorname{tg} 2 \alpha=\frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1-\operatorname{tg}^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \alpha} \), \(\ \operatorname{tg}^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \alpha=\frac{1-\cos 2 \alpha}{1+\cos 2 \alpha} \)

    \(\ \operatorname{ctg} 2 \alpha=\frac{\operatorname{ctg}^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \alpha-1}{2 \operatorname{ctg} \alpha} \)

    \(\ \sin 3 \alpha=3 \sin \alpha-4 \sin ^

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \alpha \), \(\ \cos 3 \alpha=4 \cos ^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \alpha-3 \cos \alpha \)

    \(\ \operatorname{tg} 3 \alpha=\frac{3 \operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg}^

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \alpha}{1-3 \operatorname{tg}^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \alpha} \), \(\ \operatorname{ctg} 3 \alpha=\frac{3 \operatorname{ctg} \alpha-\operatorname{ctg}^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \alpha}{1-3 \operatorname{ctg}^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \alpha} \)

    ПРИМЕР

  • Задание

    Упростить выражение \(\ A=(\sin \alpha+\cos \alpha)^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -\sin 2 \alpha \)

  • Решение

    Вначале упростим выражение \(\ (\sin \alpha+\cos \alpha)^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \) , которое представляет собой квадрат суммы. Раскроем это выражение по формуле:

    \(\ (\sin \alpha+\cos \alpha)^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =\sin ^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \alpha+2 \sin \alpha \cos \alpha+\cos ^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \alpha=\sin ^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \alpha+\cos ^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \alpha+2 \sin \alpha \cos \alpha \)

    Сумма \(\ \sin ^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \alpha+\cos ^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \alpha \) по основному тригонометрическому тождеству равна 1, а последнее слагаемое сворачиваем по формуле «синус двойного угла». Тогда будем иметь:

    \(\ (\sin \alpha+\cos \alpha)^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =1+\sin 2 \alpha \)

    Итак,

    \(\ A=(\sin \alpha+\cos \alpha)^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -\sin 2 \alpha=1+\sin 2 \alpha-\sin 2 \alpha=1 \)

  • Ответ

    \(\ \mathrm{A}=1 \)

    Формулы половинного аргумента

    Названные формулы выражают функции половинного аргумента \(\ \frac{\alpha}

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \) через тригонометрические функции аргумента \(\ \alpha \) . При меняются в тригонометрических преобразованиях.

    \(\ \sin \frac{\alpha}

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =\mp \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    } \)

    \(\ \cos \frac{\alpha}

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =\mp \sqrt{\frac{1+\cos \alpha}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    } \)

    \(\ \operatorname{tg} \frac{\alpha}

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =\mp \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}}=\frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}=\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha} \)

    \(\ \operatorname{ctg} \frac{\alpha}

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =\mp \sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{1-\cos \alpha}}=\frac{1+\cos \alpha}{\sin \alpha}=\frac{\sin \alpha}{1-\cos \alpha} \)

    ПРИМЕР

  • Задание

    Найти \(\ _

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \operatorname{tg} \frac{\alpha}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \) , если известно, что \(\ \sin \alpha=\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \) и \(\ \alpha \)– угол первой четверти.

  • Решение

    Для нахождения нужного значения воспользуемся формулой

    \(\ \operatorname{tg} \frac{\alpha}

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha} \)

    Найдем косинус угла. Из основного тригонометрического тождества получаем, что

    \(\ \cos \alpha=\pm \sqrt{1-\sin ^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \alpha} \)

    Так как \(\ \alpha \)– угол первой четверти, то в этой четверти косинус положительный и тогда

    \(\ \cos \alpha=\sqrt{1-\sin ^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \alpha}=\sqrt{1-\left(\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right)^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }=\frac{\sqrt
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \)

    А отсюда имеем, что

    \(\ \operatorname{tg} \frac{\alpha}

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =\frac{\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }{1+\frac{\sqrt
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }=\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {2+\sqrt
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    } \)

  • Ответ

    \(\ \operatorname{tg} \frac{\alpha}

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {2+\sqrt
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    } \)

    Формулы сложения и вычитания аргументов

    Тригонометрические формулы сложения и вычитания углов представляют собой тригонометрические уравнения, в которых в качестве аргумента тригонометрической функции выступает сумма или разность двух \(\ \alpha \) и \(\ \beta \) . Данные формулы позволяют по известным тригонометрическим функциям аргументов \(\ \alpha \) и \(\ \beta \) определять значения этих функций для сумм или разностей указанных аргументов.

    \(\ \sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta \)

    \(\ \sin (\alpha-\beta)=\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta \)

    \(\ \cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta \)

    \(\ \cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta \)

    \(\ \operatorname{tg}(\alpha+\beta)=\frac{\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta}{1-\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} \)

    \(\ \operatorname{tg}(\alpha-\beta)=\frac{\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta}{1+\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} \)

    \(\ \operatorname{ctg}(\alpha+\beta)=\frac{\operatorname{ctg} \alpha \operatorname{ctg} \beta-1}{\operatorname{ctg} \alpha+\operatorname{ctg} \beta} \)

    \(\ \operatorname{ctg}(\alpha-\beta)=\frac{\operatorname{ctg} \alpha \operatorname{ctg} \beta+1}{\operatorname{ctg} \alpha-\operatorname{ctg} \beta} \)

    ПРИМЕР

  • Задание

    Найти значение выражения \(\ \sin 37^{\circ} \cos 23^{\circ}+\cos 37^{\circ} \sin 23^{\circ} \)

  • Решение

    Применим формулу «синус суммы» справа налево, то есть в виде

    \(\ \sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta=\sin (\alpha+\beta) \)

    Тогда будем иметь, что

    \(\ \sin 37^{\circ} \cos 23^{\circ}+\cos 37^{\circ} \sin 23^{\circ}=\sin \left(37^{\circ}+23^{\circ}\right)=\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \)

  • Ответ

    \(\ \sin 37^{\circ} \cos 23^{\circ}+\cos 37^{\circ} \sin 23^{\circ}=\frac{\sqrt

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \)

    Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение

    Сумма (и разность) тригонометрических функций преобразуется в произведение функций от других аргументов по следующим формулам, которые выводятся из теорем сложения, а также определений тангенса и котангенса:

    \(\ \sin \alpha+\sin \beta=2 \sin \frac{\alpha+\beta}

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \cos \frac{\alpha-\beta}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \)

    \(\ \sin \alpha-\sin \beta=2 \sin \frac{\alpha-\beta}

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \cos \frac{\alpha+\beta}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \)

    \(\ \cos \alpha+\cos \beta=2 \cos \frac{\alpha+\beta}

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \cos \frac{\alpha-\beta}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \)

    \(\ \cos \alpha-\cos \beta=-2 \sin \frac{\alpha+\beta}

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \sin \frac{\alpha-\beta}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \)

    \(\ \operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta=\frac{\sin (\alpha+\beta)}{\cos \alpha \cos \beta} \)

    \(\ \operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta=\frac{\sin (\alpha-\beta)}{\cos \alpha \cos \beta} \)

    \(\ \operatorname{ctg} \alpha+\operatorname{ctg} \beta=\frac{\sin (\alpha+\beta)}{\sin \alpha \sin \beta} \)

    \(\ \operatorname{ctg} \alpha-\operatorname{ctg} \beta=-\frac{\sin (\alpha-\beta)}{\sin \alpha \sin \beta}=\frac{\sin (\beta-\alpha)}{\sin \alpha \sin \beta} \)

    \(\ \operatorname{tg} \alpha+\operatorname{ctg} \alpha=\frac

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    {\sin 2 \alpha} \)

    \(\ \operatorname{tg} \alpha+\operatorname{ctg} \alpha=-2 \operatorname{ctg} 2 \alpha \)

    \(\ \operatorname{tg} \alpha+\operatorname{ctg} \beta=\frac{\cos (\alpha-\beta)}{\cos \alpha \sin \beta} \)

    \(\ \operatorname{tg} \alpha-\operatorname{ctg} \beta=-\frac{\cos (\alpha+\beta)}{\cos \alpha \sin \beta} \)

    \(\ \sin \alpha+\sin 3 \alpha+\ldots+\sin (2 n-1) \alpha=\sin n \alpha, n \in Z \)

    \(\ \cos \alpha+\cos 3 \alpha+\ldots+\cos (2 n-1) \alpha=\cos n \alpha, n \in Z \)

    Формулы для разложения тригонометрических выражений на множители.

    ПРИМЕР

  • Задание

    Разложить на множители \(\ \sin 2 \alpha+\sin \alpha \)

  • Решение

    Применим формулу «сумма синусов»:

    \(\ \sin \alpha+\sin \beta=2 \sin \frac{\alpha+\beta}

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \cos \frac{\alpha-\beta}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \)

    Тогда

    \(\ \sin 2 \alpha+\sin \alpha=2 \sin \frac{2 \alpha+\alpha}

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \cos \frac{2 \alpha-\alpha}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =2 \sin \frac{3 \alpha}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \cos \frac{\alpha}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \)

  • Ответ

    \(\ \sin 2 \alpha+\sin \alpha=2 \sin \frac{3 \alpha}

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \cos \frac{\alpha}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \)

    Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму

    Эти формулы получаются из сложения/вычитания соответствующих формул сложения и вычитания аргументов и дальнейшего упрощения:

    \(\ \sin \alpha \sin \beta=\frac{\cos (\alpha-\beta)-\cos (\alpha+\beta)}

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \)

    \(\ \sin \alpha \cos \beta=\frac{\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)}

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \)

    \(\ \cos \alpha \cos \beta=\frac{\cos (\alpha-\beta)+\cos (\alpha+\beta)}

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \)

    Используются при тригонометрических преобразованиях.

    ПРИМЕР

  • Задание

    Преобразовать в сумму произведение \(\ \sin 43^{\circ} \cos 17^{\circ} \)

  • Решение

    Используем формулу

    \(\ \sin \alpha \cos \beta=\frac{\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)}

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \)

    Тогда будем иметь:

    \(\ \sin 43^{\circ} \cos 17^{\circ}=\frac{\sin \left(43^{\circ}+17^{\circ}\right)+\sin \left(43^{\circ}-17^{\circ}\right)}

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =\frac{\sin 60^{\circ}+\sin 26^{\circ}}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    = \)

    \(\ =\frac{\frac{\sqrt

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +\sin 26^{\circ}}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =\frac{\sqrt
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }{4}+\frac{\sin 26^{\circ}}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \)

  • Ответ

    \(\ \sin 43^{\circ} \cos 17^{\circ}=\frac{\sqrt

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }{4}+\frac{\sin 26^{\circ}}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \)

    Формулы понижения степени тригонометрических функций

    Данные формулы используются при различных тригонометрических преобразованиях:

    \(\ \sin ^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \alpha=\frac{1-\cos 2 \alpha}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \)

    \(\ \sin ^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \frac{\alpha}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =\frac{1-\cos \alpha}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \)

    \(\ \sin ^

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \alpha=\frac{3 \sin \alpha-\sin 3 \alpha}{4} \)

    \(\ \cos ^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \alpha=\frac{1+\cos 2 \alpha}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \)

    \(\ \cos ^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \frac{\alpha}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =\frac{1+\cos \alpha}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \)

    \(\ \cos ^

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \alpha=\frac{3 \cos \alpha+\cos 3 \alpha}{4} \)

    ПРИМЕР

  • Задание

    Найти значение выражения \(\ \sin ^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    15^{\circ} \)

  • Решение

    Согласно формуле

    \(\ \sin ^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \alpha=\frac{1-\cos 2 \alpha}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \)

    имеем, что

    \(\ \sin ^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    15^{\circ}=\frac{1-\cos \left(2 \cdot 15^{\circ}\right)}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =\frac{1-\cos 30^{\circ}}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =\frac{1-\frac{\sqrt
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =\frac{2-\sqrt
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }{4} \)

  • Ответ

    \(\ \sin ^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    15^{\circ}=\frac{2-\sqrt
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }{4} \)

    Другие формулы \(\ \begin{array}{|c|c|} \hline \cos \alpha+\sin \alpha=\sqrt

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \cos \left(45^{\circ}-\alpha\right)& \cos \alpha-\sin \alpha=\sqrt
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \sin \left(45^{\circ}-\alpha\right)\\ \hline 1+\sin \alpha=2 \cos ^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \left(45^{\circ}-\frac{\alpha}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right)& 1-\sin \alpha=2 \sin ^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \left(45^{\circ}-\frac{\alpha}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right)\\ \hline 1+\cos \alpha=2 \cos ^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \frac{\alpha}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    & 1-\cos \alpha=2 \sin ^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \frac{\alpha}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \\ \hline 1+\operatorname{tg} \alpha=\frac{\sqrt
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \sin \left(45^{\circ}+\alpha\right)}{\cos \alpha}& 1-\operatorname{tg} \alpha=\frac{\sqrt
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \sin \left(45^{\circ}-\alpha\right)}{\cos \alpha}\\ \hline 1-\operatorname{tg}^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \alpha=\frac{\cos 2 \alpha}{\cos ^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \alpha}& 1-\operatorname{ctg}^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \alpha=-\frac{\cos 2 \alpha}{\sin ^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \alpha}\\ \hline 1+\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta=\frac{\cos (\alpha-\beta)}{\cos \alpha \cos \beta}& 1-\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta=\frac{\cos (\alpha+\beta)}{\cos \alpha \cos \beta}\\ \hline \operatorname{ctg} \operatorname{actg} \beta+1=\frac{\cos (\alpha-\beta)}{\sin \alpha \sin \beta}& \operatorname{ctg} \alpha \operatorname{ctg} \beta-1=\frac{\cos (\alpha+\beta)}{\sin \alpha \sin \beta}\\ \hline \operatorname{tg}^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \alpha-\operatorname{tg}^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \beta=\frac{\sin (\alpha+\beta) \sin (\alpha-\beta)}{\cos ^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \alpha \cos ^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \beta}& \operatorname{ctg}^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \alpha-\operatorname{ctg}^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \beta=-\frac{\sin (\alpha+\beta) \sin (\alpha-\beta)}{\sin ^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \alpha \sin ^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \beta}\\ \hline \operatorname{ctg}^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \alpha-\operatorname{tg}^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \beta=\frac{\cos (\alpha+\beta) \cos (\alpha-\beta)}{\sin ^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \alpha \cos ^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \beta}&\\ \hline \end{array} \)
  • Узнать цену работы

    Узнай цену

    своей работы