Тригонометрические уравнения и их решение
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Тригонометрические уравнения - это уравнения, содержащие переменную под знаком тригонометрической функции.
Простые тригонометрические уравнения<
Простейшие тригонометрические уравнения включают уравнения вида
\(\
\sin x=a
\), \(\
\cos x=a
\), \(\
\operatorname{tg} x=a
\), \(\
\operatorname{ctg} x=a
\)
Рассмотрим подробнее каждое из этих уравнений и их решение.
Уравнение вида \(\
\sin x=a
\) . При \(\
a>1
\) и \(\
a<-1
\) уравнение корней не имеет. При \(\
-1 \leq a \leq 1
\) , корни этого уравнения находятся по формуле
\(\
x=(-1)^{k} \arcsin a+\pi k
\), \(\
k \in Z
\)
Особые случаи:
\(\
a=-1 \quad \Rightarrow \quad \sin x=-1 \quad \Rightarrow \quad x=-\frac{\pi}{2}+2 \pi k
\), \(\
k \in Z
\); \(\
a=0 \Rightarrow \sin x=0 \quad \Rightarrow \quad x=\pi k
\), \(\
k \in Z
\); \(\
a=1 \quad \Rightarrow \quad \sin x=1 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{2}+2 \pi k
\), \(\
k \in Z
\)
ПРИМЕР 1
Решить уравнение \(\
\sin x=0,5
\)
Так как \(\
-1 \leq \frac{1}{2} \leq 1
\) , то заданное уравнение имеет решение и для его нахождения воспользуемся формулой
\(\
x=(-1)^{k} \arcsin a+\pi k
\), \(\
k \in Z
\)
Получим
\(\
x=(-1)^{k} \arcsin \frac{1}{2}+\pi k
\), \(\
k \in Z
\)
Далее находим значение арксинуса: \(\
\arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi}{6}, \quad k \in Z, \arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi}{6}
\), \(\
k \in Z
\) тогда \(\
x=(-1)^{k} \cdot \frac{\pi}{6}+\pi k
\), \(\
k \in Z
\)
Уравнение вида \(\
\cos x=a
\) . При \(\
a>1
\) и \(\
a<-1
\) уравнение корней не имеет. При \(\
-1 \leq a \leq 1
\) , корни этого уравнения находятся по формуле
\(\
x=\pm \arccos a+2 \pi k
\), \(\
k \in Z
\)
Особые случаи:
\(\
a=-1 \quad \Rightarrow \quad \cos x=-1 \quad \Rightarrow \quad x=\pi+2 \pi k
\), \(\
k \in Z
\); \(\
a=0 \quad \Rightarrow \quad \cos x=0 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{2}+\pi k
\), \(\
k \in Z
\); \(\
a=1 \quad \Rightarrow \quad \cos x=1 \quad \Rightarrow \quad x=2 \pi k
\), \(\
k \in Z
\)
Замечание. \(\
\arccos (-a)=\pi-\arccos a
\)
ПРИМЕР 2
Решить уравнение \(\
\cos \left(\frac{\pi}{3}+\frac{2 x}{3}\right)=0
\)
Положим \(\
t=\frac{\pi}{3}+\frac{2 x}{3}
\) , тогда заданное уравнение преобразуется в простейшее тригонометрическое уравнение вида \(\
\cos t=0
\) , которое имеет решение
\(\
t=\frac{\pi}{2}+\pi k
\), \(\
k \in Z
\)
Делая обратную замену, получим
\(\
\frac{\pi}{3}+\frac{2 x}{3}=\frac{\pi}{2}+\pi k
\), \(\
k \in Z
\)
Выразим из последнего равенства \(\
\mathbf{x}
\):
\(\
\frac{2 x}{3}=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}+\pi k
\), \(\
k \in Z
\); \(\
\frac{2 x}{3}=\frac{\pi}{6}+\pi k
\), \(\
k \in Z
\)
умножим обе части последнего равенства на \(\
\frac{3}{2}
\) :
\(\
x=\frac{\pi}{6} \cdot \frac{3}{2}+\pi k \cdot \frac{3}{2}
\), \(\
k \in Z
\); \(\
x=\frac{\pi}{4}+\frac{3 \pi k}{2}
\), \(\
k \in Z
\)
Уравнение вида \(\
\operatorname{tg} x=a
\) . Корни этого уравнения находятся по формуле
\(\
x=\operatorname{arctg} a+\pi k
\), \(\
k \in Z
\)
ПРИМЕР 3
Решить уравнение \(\
\operatorname{tg} x=-\frac{1}{\sqrt{3}}
\)
Это простейшее тригонометрическое уравнение и его корни находим по формуле
\(\
x=\operatorname{arctg} a+\pi k
\), \(\
k \in Z
\)
Получим
\(\
x=\operatorname{arctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+\pi k
\), \(\
k \in Z
\)
так как арктангенс функция нечетная, то
\(\
x=-\operatorname{arctg} \frac{\sqrt{3}}{3}+\pi k
\), \(\
k \in Z
\); \(\
x=-\frac{\pi}{6}+\pi k
\), \(\
k \in Z
\)
Уравнение вида \(\
\operatorname{ctg} x=a
\) . Корни этого уравнения находятся по формуле
\(\
x=\operatorname{arcctg} a+\pi k
\), \(\
k \in Z
\)
ПРИМЕР 4=
Решить уравнение \(\
\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)=1
\)
Положив \(\
t=\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}
\) , получим простейшее тригонометрическое уравнение \(\
\operatorname{ctg} t=1
\) , корни которого вычисляются по формуле.
\(\
t=\operatorname{arcctg} a+\pi k
\), \(\
k \in Z
\)
Тогда
\(\
t=\operatorname{arcctg} 1+\pi k
\), \(\
k \in Z
\); \(\
t=\frac{\pi}{4}+\pi k
\), \(\
k \in Z
\)
Сделаем обратную замену
\(\
\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+\pi k
\), \(\
k \in Z
\)
и выразим из полученного уравнения \(\
\boldsymbol{x}
\):
\(\
\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}+\pi k
\), \(\
k \in Z
\); \(\
\frac{x}{2}=\pi k
\), \(\
k \in Z
\)
умножим обе части последнего равенства на 2, тогда окончательно получим
\(\
x=2 \pi k
\), \(\
k \in Z
\)
Тригонометрические уравнения, приводящиеся к квадратным уравнениям
Это тригонометрические уравнения, которые после замены тригонометрической функции, которая входит в уравнение, становится квадратным.
ПРИМЕР 5
Решить уравнение \(\
4 \sin ^{2} 2 x-8 \sin 2 x+3=0
\)
Введем замену \(\
t=\sin 2 x,|t| \leq 1
\), тогда исходное уравнение примет вид:
\(\
4 t^{2}-8 t+3=0
\)
Найдем корни полученного квадратного уравнения
\(\
D=(-8)^{2}-4 \cdot 4 \cdot 3=64-48=16
\); \(\
t_{1}=\frac{8+\sqrt{16}}{2 \cdot 4}=\frac{8+4}{8}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}
\); \(\
t_{2}=\frac{8-\sqrt{16}}{2 \cdot 4}=\frac{8-4}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}
\)
Сделаем обратную замену, тогда при \(\
t_{1}=\frac{3}{2}
\) получаем уравнение \(\
\sin 2 x=\frac{3}{2}
\) , которое не имеет решений, потому что значение синуса не может превышать 1. При \(\
t_{2}=\frac{1}{2}
\) получаем уравнение \(\
\sin 2 x=\frac{1}{2}
\) .Это простейшее уравнение вида \(\
\sin x=a
\) , корни которого находятся по формуле \(\
x=(-1)^{k} \arcsin a+\pi k
\), \(\
k \in Z
\) . Получим
\(\
2 x=(-1)^{k} \arcsin \frac{1}{2}+\pi k
\), \(\
k \in Z
\); \(\
2 x=(-1)^{k} \frac{\pi}{6}+\pi k
\), \(\
k \in Z
\); \(\
x=(-1)^{k} \frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2}
\), \(\
k \in Z
\)
Уравнение вида \(\
a \sin x+b \cos x=c
\) где \(\
a
\), \(\
b
\), \(\
c
\) \(\
\in R
\) .Такие уравнения решают с помощью введения дополнительного угла. Считая, что \(\
a^{2}+b^{2} \neq 0
\) , поделим обе части исходного уравнения на
\(\
\sqrt{a^{2}+b^{2}}
\) , получим
\(\
\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \sin x+\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \cos x=\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}
\)
Для полученных коэффициентов при синусе и косинусе справедливы следующие соотношения
\(\
\left|\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right| \leq 1,\left|\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right| \leq 1,\left(\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right)^{2}+\left(\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right)^{2}=1
\)
Тогда можно утверждать, что существует угол \(\
\phi
\) такой что, например
\(\
\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\cos \phi, \frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\sin \phi, \frac{b}{a}=\operatorname{tg} \phi
\)
Таким образом, последнее уравнение примет вид
\(\
\cos \phi \cdot \sin x+\sin \phi \cdot \cos x=\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}
\)
По формуле суммы для тригонометрических функций, последнее уравнение сводится к простейшему тригонометрическому уравнению
\(\
\sin (\phi+x)=\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}
\)
откуда достаточно легко найти \(\
\mathbf{x}
\).
ПРИМЕР 6
Решить уравнение \(\
\
\sin x+\cos x=\sqrt{2}
\)
Коэффициенты при синусе и косинусе равны 1. Тогда поделим обе части исходного уравнения на \(\
\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}
\) , получим
\(\
\frac{\sin x}{\sqrt{2}}+\frac{\cos x}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}
\),
\(\
\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x+\frac{1}{\sqrt{2}} \cos x=1
\)
Существует угол \(\
\phi
\) для которого \(\
\cos \phi=\frac{1}{\sqrt{2}}
\), \(\
\sin \phi=\frac{1}{\sqrt{2}}
\), \(\
\sin \phi=\frac{1}{\sqrt{2}}
\) . Решая любое из этих простейших уравнений получаем, что \(\
\phi=\frac{\pi}{4}
\) . Тогда последнее уравнение можно переписать следующим образом
\(\
\cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin x+\sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos x=1
\)
По формуле суммы для тригонометрических функций, последнее уравнение сводится к простейшему тригонометрическому уравнению
\(\
\sin \left(\frac{\pi}{4}+x\right)=1
\)
Решая его, получим
\(\
\frac{\pi}{4}+x=\frac{\pi}{2}+2 \pi k
\), \(\
k \in Z
\); \(\
x=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}+2 \pi k
\), \(\
k \in Z
\); \(\
x=\frac{\pi}{4}+2 \pi k
\), \(\
k \in Z
\)
Однородные тригонометрические уравнения
Однородные тригонометрические уравнения – это уравнения вида
\(\
a_{0} \sin ^{n} x+a_{1} \sin ^{n-1} x \cos x+a_{2} \sin ^{n-2} x \cos ^{2} x+\ldots+a_{n-1} \sin x \cos ^{n-1} x+a_{n} \cos ^{n} x=0
\)
где \(\
a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{n-1}, a_{n}
\) – действительные числа\(\
n \geq 1
\) . Такое уравнение легко приводится к уравнению относительно \(\
\operatorname{tg} x
\) , если все его члены поделить на \(\
\cos ^{n} x
\). При этом, если \(\
a_{0} \neq 0
\) , то деление не приведет к потере корней. Действительно, если \(\
\cos x=0
\) , то первоначальное уравнение примет вид \(\
a_{0} \sin ^{n} x=0
\) , откуда \(\
\sin x=0
\) , что не возможно, так как \(\
\cos x
\) и \(\
\sin x
\) одновременно не могут быть равны нулю.
ПРИМЕР 7
Решить уравнение
\(\
4 \sin ^{2} x-3 \sin x \cos x-\cos ^{2} x=0
\)
Разделим все члены данного уравнения на \(\
\cos x^{2} x
\) :
\(\
\frac{4 \sin ^{2} x}{\cos ^{2} x}-\frac{3 \sin x \cos x}{\cos ^{2} x}-\frac{\cos ^{2} x}{\cos ^{2} x}=0
\)
получим уравнение относительно \(\
\operatorname{tg} x
\) :
\(\
4 t g^{2} x-3 \operatorname{tg} x-1=0
\)
Введем замену \(\
t=\operatorname{tg} x
\) , тогда уравнение примет вид
\(\
4 t^{2}-3 t-1=0
\)
Это квадратное уравнение, найдем его корни:
\(\
D=(-3)^{2}-4 \cdot 4 \cdot(-1)=9+16=25
\); \(\
t_{1}=\frac{3-\sqrt{25}}{2 \cdot 4}=\frac{3-5}{8}=-\frac{2}{8}=-\frac{1}{4}
\); \(\
t_{2}=\frac{3+\sqrt{25}}{2 \cdot 4}=\frac{3+5}{8}=\frac{8}{8}=1
\)
Делая обратную замену, получим: при \(\
t_{1}=-\frac{1}{4} \operatorname{tg} x=-\frac{1}{4} \Rightarrow x=\operatorname{arctg}\left(-\frac{1}{4}\right)+\pi k, \quad \Rightarrow \quad x=-\operatorname{arctg} \frac{1}{4}+\pi k
\), \(\
k \in Z
\) при \(\
t_{2}=1^{\operatorname{tg} x=1} \Rightarrow x=\operatorname{arctg} 1+\pi n, \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{4}+\pi n
\), \(\
n \in Z
\)
Дробно-рациональные тригонометрические уравнения
Основной сложностью решения таких уравнений является отбор корней уравнения для формирования ответа.
ПРИМЕР 8
Решить уравнение
\(\
\frac{\cos x}{\sin x-1}=0
\)
Это уравнение содержит дробь, в числителе и знаменателе которой присутствуют тригонометрические функции, поэтому это дробно-рациональное тригонометрическое уравнение.
ОДЗ:\(\
\sin x-1 \neq 0 \Rightarrow \sin x \neq 1 \quad \Rightarrow \quad x \neq \frac{\pi}{2}+2 \pi k \quad k \in Z
\)
Теперь знаменатель можно опустить, и остается решить уравнение
\(\
\cos x=0 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{2}+\pi k \quad k \in Z
\)
Рис. 1
Нанесем на единичную окружность корни \(\
x=\frac{\pi}{2}+\pi k \quad k \in Z
\) и зачеркнем те, что не входят в ОДЗ (рис. 1). Таким образом, корнями данного уравнения будут значения \(\
x=-\frac{\pi}{2}+2 \pi k \quad k \in Z
\)