Узнать цену работы
Статьи по теме

Тригонометрические уравнения и их решение

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Тригонометрические уравнения - это уравнения, содержащие переменную под знаком тригонометрической функции.

Простые тригонометрические уравнения<

Простейшие тригонометрические уравнения включают уравнения вида \(\ \sin x=a \), \(\ \cos x=a \), \(\ \operatorname{tg} x=a \), \(\ \operatorname{ctg} x=a \)

Рассмотрим подробнее каждое из этих уравнений и их решение.

Уравнение вида \(\ \sin x=a \) . При \(\ a>1 \) и \(\ a<-1 \) уравнение корней не имеет. При \(\ -1 \leq a \leq 1 \) , корни этого уравнения находятся по формуле \(\ x=(-1)^{k} \arcsin a+\pi k \), \(\ k \in Z \)

Особые случаи: \(\ a=-1 \quad \Rightarrow \quad \sin x=-1 \quad \Rightarrow \quad x=-\frac{\pi}{2}+2 \pi k \), \(\ k \in Z \); \(\ a=0 \Rightarrow \sin x=0 \quad \Rightarrow \quad x=\pi k \), \(\ k \in Z \); \(\ a=1 \quad \Rightarrow \quad \sin x=1 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{2}+2 \pi k \), \(\ k \in Z \)

ПРИМЕР 1

  • Задание

    Решить уравнение \(\ \sin x=0,5 \)

  • Решение

    Так как \(\ -1 \leq \frac{1}{2} \leq 1 \) , то заданное уравнение имеет решение и для его нахождения воспользуемся формулой \(\ x=(-1)^{k} \arcsin a+\pi k \), \(\ k \in Z \)

    Получим \(\ x=(-1)^{k} \arcsin \frac{1}{2}+\pi k \), \(\ k \in Z \)

    Далее находим значение арксинуса: \(\ \arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi}{6}, \quad k \in Z, \arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi}{6} \), \(\ k \in Z \) тогда \(\ x=(-1)^{k} \cdot \frac{\pi}{6}+\pi k \), \(\ k \in Z \)

  • Ответ\(\ x=(-1)^{k} \cdot \frac{\pi}{6}+\pi k \), \(\ k \in Z \)

    Уравнение вида \(\ \cos x=a \) . При \(\ a>1 \) и \(\ a<-1 \) уравнение корней не имеет. При \(\ -1 \leq a \leq 1 \) , корни этого уравнения находятся по формуле \(\ x=\pm \arccos a+2 \pi k \), \(\ k \in Z \)

    Особые случаи: \(\ a=-1 \quad \Rightarrow \quad \cos x=-1 \quad \Rightarrow \quad x=\pi+2 \pi k \), \(\ k \in Z \); \(\ a=0 \quad \Rightarrow \quad \cos x=0 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{2}+\pi k \), \(\ k \in Z \); \(\ a=1 \quad \Rightarrow \quad \cos x=1 \quad \Rightarrow \quad x=2 \pi k \), \(\ k \in Z \)

    Замечание. \(\ \arccos (-a)=\pi-\arccos a \)

    ПРИМЕР 2

  • Задание

    Решить уравнение \(\ \cos \left(\frac{\pi}{3}+\frac{2 x}{3}\right)=0 \)

  • Решение

    Положим \(\ t=\frac{\pi}{3}+\frac{2 x}{3} \) , тогда заданное уравнение преобразуется в простейшее тригонометрическое уравнение вида \(\ \cos t=0 \) , которое имеет решение \(\ t=\frac{\pi}{2}+\pi k \), \(\ k \in Z \)

    Делая обратную замену, получим \(\ \frac{\pi}{3}+\frac{2 x}{3}=\frac{\pi}{2}+\pi k \), \(\ k \in Z \)

    Выразим из последнего равенства \(\ \mathbf{x} \): \(\ \frac{2 x}{3}=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}+\pi k \), \(\ k \in Z \); \(\ \frac{2 x}{3}=\frac{\pi}{6}+\pi k \), \(\ k \in Z \) умножим обе части последнего равенства на \(\ \frac{3}{2} \) : \(\ x=\frac{\pi}{6} \cdot \frac{3}{2}+\pi k \cdot \frac{3}{2} \), \(\ k \in Z \); \(\ x=\frac{\pi}{4}+\frac{3 \pi k}{2} \), \(\ k \in Z \)

  • Ответ: \(\ x=\frac{\pi}{4}+\frac{3 \pi k}{2} \), \(\ k \in Z \)

    Уравнение вида \(\ \operatorname{tg} x=a \) . Корни этого уравнения находятся по формуле \(\ x=\operatorname{arctg} a+\pi k \), \(\ k \in Z \)

    ПРИМЕР 3

  • Задание

    Решить уравнение \(\ \operatorname{tg} x=-\frac{1}{\sqrt{3}} \)

  • Решение

    Это простейшее тригонометрическое уравнение и его корни находим по формуле \(\ x=\operatorname{arctg} a+\pi k \), \(\ k \in Z \)

    Получим \(\ x=\operatorname{arctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+\pi k \), \(\ k \in Z \)

    так как арктангенс функция нечетная, то \(\ x=-\operatorname{arctg} \frac{\sqrt{3}}{3}+\pi k \), \(\ k \in Z \); \(\ x=-\frac{\pi}{6}+\pi k \), \(\ k \in Z \)

  • Ответ\(\ x=-\frac{\pi}{6}+\pi k \), \(\ k \in Z \)

    Уравнение вида \(\ \operatorname{ctg} x=a \) . Корни этого уравнения находятся по формуле \(\ x=\operatorname{arcctg} a+\pi k \), \(\ k \in Z \)

    ПРИМЕР 4=

  • Задание

    Решить уравнение \(\ \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)=1 \)

  • Решение

    Положив \(\ t=\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2} \) , получим простейшее тригонометрическое уравнение \(\ \operatorname{ctg} t=1 \) , корни которого вычисляются по формуле. \(\ t=\operatorname{arcctg} a+\pi k \), \(\ k \in Z \)

    Тогда \(\ t=\operatorname{arcctg} 1+\pi k \), \(\ k \in Z \); \(\ t=\frac{\pi}{4}+\pi k \), \(\ k \in Z \)

    Сделаем обратную замену \(\ \frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+\pi k \), \(\ k \in Z \)

    и выразим из полученного уравнения \(\ \boldsymbol{x} \): \(\ \frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}+\pi k \), \(\ k \in Z \); \(\ \frac{x}{2}=\pi k \), \(\ k \in Z \)

    умножим обе части последнего равенства на 2, тогда окончательно получим \(\ x=2 \pi k \), \(\ k \in Z \)

  • Ответ\(\ x=2 \pi k \), \(\ k \in Z \)

    Тригонометрические уравнения, приводящиеся к квадратным уравнениям

    Это тригонометрические уравнения, которые после замены тригонометрической функции, которая входит в уравнение, становится квадратным.

    ПРИМЕР 5

  • Задание

    Решить уравнение \(\ 4 \sin ^{2} 2 x-8 \sin 2 x+3=0 \)

  • Решение

    Введем замену \(\ t=\sin 2 x,|t| \leq 1 \), тогда исходное уравнение примет вид: \(\ 4 t^{2}-8 t+3=0 \)

    Найдем корни полученного квадратного уравнения \(\ D=(-8)^{2}-4 \cdot 4 \cdot 3=64-48=16 \); \(\ t_{1}=\frac{8+\sqrt{16}}{2 \cdot 4}=\frac{8+4}{8}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2} \); \(\ t_{2}=\frac{8-\sqrt{16}}{2 \cdot 4}=\frac{8-4}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2} \)

    Сделаем обратную замену, тогда при \(\ t_{1}=\frac{3}{2} \) получаем уравнение \(\ \sin 2 x=\frac{3}{2} \) , которое не имеет решений, потому что значение синуса не может превышать 1. При \(\ t_{2}=\frac{1}{2} \) получаем уравнение \(\ \sin 2 x=\frac{1}{2} \) .Это простейшее уравнение вида \(\ \sin x=a \) , корни которого находятся по формуле \(\ x=(-1)^{k} \arcsin a+\pi k \), \(\ k \in Z \) . Получим \(\ 2 x=(-1)^{k} \arcsin \frac{1}{2}+\pi k \), \(\ k \in Z \); \(\ 2 x=(-1)^{k} \frac{\pi}{6}+\pi k \), \(\ k \in Z \); \(\ x=(-1)^{k} \frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2} \), \(\ k \in Z \)

  • Ответ\(\ x=(-1)^{k} \frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2} \), \(\ k \in Z \)

    Уравнение вида \(\ a \sin x+b \cos x=c \) где \(\ a \), \(\ b \), \(\ c \) \(\ \in R \) .Такие уравнения решают с помощью введения дополнительного угла. Считая, что \(\ a^{2}+b^{2} \neq 0 \) , поделим обе части исходного уравнения на \(\ \sqrt{a^{2}+b^{2}} \) , получим \(\ \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \sin x+\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \cos x=\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \)

    Для полученных коэффициентов при синусе и косинусе справедливы следующие соотношения \(\ \left|\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right| \leq 1,\left|\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right| \leq 1,\left(\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right)^{2}+\left(\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right)^{2}=1 \)

    Тогда можно утверждать, что существует угол \(\ \phi \) такой что, например \(\ \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\cos \phi, \frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\sin \phi, \frac{b}{a}=\operatorname{tg} \phi \)

    Таким образом, последнее уравнение примет вид \(\ \cos \phi \cdot \sin x+\sin \phi \cdot \cos x=\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \)

    По формуле суммы для тригонометрических функций, последнее уравнение сводится к простейшему тригонометрическому уравнению \(\ \sin (\phi+x)=\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \) откуда достаточно легко найти \(\ \mathbf{x} \).

    ПРИМЕР 6

  • Задание

    Решить уравнение \(\ \ \sin x+\cos x=\sqrt{2} \)

  • Решение

    Коэффициенты при синусе и косинусе равны 1. Тогда поделим обе части исходного уравнения на \(\ \sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2} \) , получим \(\ \frac{\sin x}{\sqrt{2}}+\frac{\cos x}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \), \(\ \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x+\frac{1}{\sqrt{2}} \cos x=1 \)

    Существует угол \(\ \phi \) для которого \(\ \cos \phi=\frac{1}{\sqrt{2}} \), \(\ \sin \phi=\frac{1}{\sqrt{2}} \), \(\ \sin \phi=\frac{1}{\sqrt{2}} \) . Решая любое из этих простейших уравнений получаем, что \(\ \phi=\frac{\pi}{4} \) . Тогда последнее уравнение можно переписать следующим образом \(\ \cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin x+\sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos x=1 \)

    По формуле суммы для тригонометрических функций, последнее уравнение сводится к простейшему тригонометрическому уравнению \(\ \sin \left(\frac{\pi}{4}+x\right)=1 \)

    Решая его, получим \(\ \frac{\pi}{4}+x=\frac{\pi}{2}+2 \pi k \), \(\ k \in Z \); \(\ x=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}+2 \pi k \), \(\ k \in Z \); \(\ x=\frac{\pi}{4}+2 \pi k \), \(\ k \in Z \)

  • Ответ\(\ x=\frac{\pi}{4}+2 \pi k \), \(\ k \in Z \)

    Однородные тригонометрические уравнения

    Однородные тригонометрические уравнения – это уравнения вида \(\ a_{0} \sin ^{n} x+a_{1} \sin ^{n-1} x \cos x+a_{2} \sin ^{n-2} x \cos ^{2} x+\ldots+a_{n-1} \sin x \cos ^{n-1} x+a_{n} \cos ^{n} x=0 \) где \(\ a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{n-1}, a_{n} \) – действительные числа\(\ n \geq 1 \) . Такое уравнение легко приводится к уравнению относительно \(\ \operatorname{tg} x \) , если все его члены поделить на \(\ \cos ^{n} x \). При этом, если \(\ a_{0} \neq 0 \) , то деление не приведет к потере корней. Действительно, если \(\ \cos x=0 \) , то первоначальное уравнение примет вид \(\ a_{0} \sin ^{n} x=0 \) , откуда \(\ \sin x=0 \) , что не возможно, так как \(\ \cos x \) и \(\ \sin x \) одновременно не могут быть равны нулю.

    ПРИМЕР 7

  • Задание

    Решить уравнение \(\ 4 \sin ^{2} x-3 \sin x \cos x-\cos ^{2} x=0 \)

  • Решение

    Разделим все члены данного уравнения на \(\ \cos x^{2} x \) : \(\ \frac{4 \sin ^{2} x}{\cos ^{2} x}-\frac{3 \sin x \cos x}{\cos ^{2} x}-\frac{\cos ^{2} x}{\cos ^{2} x}=0 \) получим уравнение относительно \(\ \operatorname{tg} x \) : \(\ 4 t g^{2} x-3 \operatorname{tg} x-1=0 \)

    Введем замену \(\ t=\operatorname{tg} x \) , тогда уравнение примет вид \(\ 4 t^{2}-3 t-1=0 \)

    Это квадратное уравнение, найдем его корни: \(\ D=(-3)^{2}-4 \cdot 4 \cdot(-1)=9+16=25 \); \(\ t_{1}=\frac{3-\sqrt{25}}{2 \cdot 4}=\frac{3-5}{8}=-\frac{2}{8}=-\frac{1}{4} \); \(\ t_{2}=\frac{3+\sqrt{25}}{2 \cdot 4}=\frac{3+5}{8}=\frac{8}{8}=1 \)

    Делая обратную замену, получим: при \(\ t_{1}=-\frac{1}{4} \operatorname{tg} x=-\frac{1}{4} \Rightarrow x=\operatorname{arctg}\left(-\frac{1}{4}\right)+\pi k, \quad \Rightarrow \quad x=-\operatorname{arctg} \frac{1}{4}+\pi k \), \(\ k \in Z \) при \(\ t_{2}=1^{\operatorname{tg} x=1} \Rightarrow x=\operatorname{arctg} 1+\pi n, \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{4}+\pi n \), \(\ n \in Z \)

  • Ответ\(\ x=-\operatorname{arctg} \frac{1}{4}+\pi k \), \(\ x=\frac{\pi}{4}+\pi n \), \(\ k \), \(\ n \in Z \)

    Дробно-рациональные тригонометрические уравнения

    Основной сложностью решения таких уравнений является отбор корней уравнения для формирования ответа.

    ПРИМЕР 8

  • Задание

    Решить уравнение \(\ \frac{\cos x}{\sin x-1}=0 \)

  • Решение

    Это уравнение содержит дробь, в числителе и знаменателе которой присутствуют тригонометрические функции, поэтому это дробно-рациональное тригонометрическое уравнение.

    ОДЗ:\(\ \sin x-1 \neq 0 \Rightarrow \sin x \neq 1 \quad \Rightarrow \quad x \neq \frac{\pi}{2}+2 \pi k \quad k \in Z \)

    Теперь знаменатель можно опустить, и остается решить уравнение \(\ \cos x=0 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{2}+\pi k \quad k \in Z \)

    Рис. 1

    Нанесем на единичную окружность корни \(\ x=\frac{\pi}{2}+\pi k \quad k \in Z \) и зачеркнем те, что не входят в ОДЗ (рис. 1). Таким образом, корнями данного уравнения будут значения \(\ x=-\frac{\pi}{2}+2 \pi k \quad k \in Z \)

  • Ответ\(\ x=-\frac{\pi}{2}+2 \pi k \quad k \in Z \)
  • Узнать цену работы

    Узнай цену

    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ