Тригонометрический круг (окружность)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Тригонометрический круг (круг) - круг радиуса один (единичный круг), центрированный в начале координат (рис. 1).
Для нулевого положения радиуса берется его положение в положительном направлении оси Ox. Угол поворота радиуса измеряется от положительного направления оси Ox: с плюсом - против часовой стрелки, с минусом - по часовой стрелке. Полный круг \(\
360^{\circ}
\) .Каждому углу \(\
\alpha
\) от \(\
0^{\circ}
\) до \(\
360^{\circ}
\) соответствует точка М на единичном круге.
Синус угла \(\
\alpha
\) является ординатой точки \(\
\mathrm{M}
\), а косинус угла \(\
\alpha
\) является абсциссой точки \(\
\mathrm{M}
\).
Рис.1
Примеры решения проблем
ПРИМЕР 1
Используя единичный круг, определите синус и косинус угла
Отложим угол, равный \(\
\frac{\pi}{6}
\) на единичном круге (рис.1); он будет соответствовать точке \(\
A
\) круга. Найдите синус заданного угла. Чтобы сделать это, найдите проекцию точки \(\
A
\) на ось \(\
\mathrm{Oy}
\), она будет точкой \(\
\frac{\pi}{6}
\) , поэтому ордината точки \(\
\mathrm{A}
\) равна \(\
B\left(0 ; \frac{1}{2}\right)
\) , а значение \(\
\frac{1}{2}
\)
Чтобы найти косинус заданного угла, найдем проекцию точки \(\
\mathbf{A}
\) на ось \(\
O x
\). Это будет точка \(\
\sin \frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}
\) , то точка абсциссы \(\
\mathbf{A}
\) равна \(\
C\left(\frac{\sqrt{3}}{2} ; 0\right)
\) и, соответственно, \(\
\frac{\sqrt{3}}{2}
\)
Угловые единицы
Углы обычно измеряются в градусах или радиан. Для преобразования градусов в радианы просто: 360 градусов (полный круг) соответствует \(\
\sin \frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}
\); \(\
\cos \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}
\) радианам.
ПРИМЕР 2
Перевести:
1) угол \(\
2 \pi
\) в градусах;
2) угол \(\
\alpha=\frac{3 \pi}{2}
\) в радианах.
1) Чтобы преобразовать угол из радианов в градусы, умножьте этот угол на \(\
\beta=135^{\circ}
\)
Получите
\(\
\frac{360^{\circ}}{2 \pi}
\)
2) Чтобы преобразовать заданный угол от градусов к радианам, умножьте его \(\
\alpha=\frac{3 \pi}{2} \cdot \frac{360^{\circ}}{2 \pi}=3 \cdot 90^{\circ}=270^{\circ}
\)
Получите
\(\
\frac{2 \pi}{360^{\circ}}
\)
На единичном круге вы также можете найти углы, которые больше 360 градусов. Так как значения синуса и косинуса на тригонометрическом круге повторяются каждый 1) \(\
\alpha=270^{\circ}
\); 2) \(\
\beta=\frac{3 \pi}{4}
\)
ПРИМЕР 3
Найдите с помощью синусоидальной единицы угла \(\
\alpha=750^{\circ}
\)
Представьте себе этот угол следующим образом.
\(\
\alpha=750^{\circ}=360^{\circ}+360^{\circ}+30^{\circ}
\)
Таким образом, необходимо сделать два полных круга круга, а затем остановиться в точке, соответствующей углу в \(\
30^{\circ}
\) (рис.1). Синус соответствует ординате этой точки, то есть \(\
\sin 750^{\circ}=\frac{1}{2}
\)