Умножение комплексных чисел
Рассмотрим умножение комплексных чисел, написанных в алгебраических, тригонометрических и экспоненциальных формах.
Алгебраическое умножение
Умножение комплексных чисел \(\ z_{1}=x_{1}+i y_{1} \) и \(\ z_{2}=x_{2}+i y_{2} \) выполняется прямым произведением чисел в алгебраической форме с учетом свойства мнимой единицы \(\ i^{2}=-1 \):
\(\ z_{1} \cdot z_{2}=\left(x_{1}+i y_{1}\right) \cdot\left(x_{2}+i y_{2}\right)=x_{1} \cdot x_{2}+i^{2} \cdot y_{1} \cdot y_{2}+\left(x_{1} \cdot i y_{2}+x_{2} \cdot i y_{1}\right)= \)
\(\ =\left(x_{1} \cdot x_{2}-y_{1} \cdot y_{2}\right)+i\left(x_{1} \cdot y_{2}+x_{2} \cdot y_{1}\right) \)
ПРИМЕР
Найти произведение комплексных чисел \(\
z_{1}=1+3 i
\), \(\
z_{2}=5-2 i
\)
Используйте формулу, описанную выше. Произведением комплексных чисел является:
\(\
z_{1} \cdot z_{2}=\left(x_{1} \cdot x_{2}-y_{1} \cdot y_{2}\right)+i\left(x_{1} \cdot y_{2}+x_{2} \cdot y_{1}\right)=(1 \cdot 5-3 \cdot(-2))+i(3 \cdot 5+1 \cdot(-2))=11+13 i
\)
\(\
z_{1} \cdot z_{2}=11+13 i
\)
Умножение в тригонометрической форме
Для произведения комплексных чисел в тригонометрической форме справедливо равенство:
\(\
z_{1} \cdot z_{2}=r_{1} \cdot r_{2}\left(\cos \left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)+i \sin \left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)\right)
\)
ПРИМЕР
Найдите произведение комплексных чисел \(\
z_{1}=2\left(\cos \frac{\pi}{2}+i \sin \frac{\pi}{2}\right)
\) и \(\
z_{2}=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right)
\).
Комплекс комплексных чисел:
\(\
z_{1} \cdot z_{2}=r_{1} \cdot r_{2}\left(\cos \left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)+i \sin \left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)\right)=2 \cdot \sqrt{2}\left(\cos \left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right)=
\)
\(\
=2 \sqrt{2}\left(\cos \frac{3 \pi}{4}+i \sin \frac{3 \pi}{4}\right)=2 \sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-2+2 i
\)
\(\
z_{1} \cdot z_{2}=2+2 i
\)
Умножение в экспоненциальной форме
Для произведения комплексных чисел в тригонометрической форме справедливо равенство:
\(\
z_{1} \cdot z_{2}=r_{1} \cdot e^{i \varphi_{1}} \cdot r_{2} \cdot e^{i \varphi_{2}}=r_{1} \cdot r_{2} \cdot e^{i \varphi_{1}+i \varphi_{2}}=r_{1} \cdot r_{2} \cdot e^{i\left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)}
\)
ПРИМЕР
Чтобы найти произведение комплексных чисел \(\
z_{1}=3 e^{-\frac{\pi}{2} i}
\) и \(\
z_{2}=2 e^{\frac{\pi}{3} i}
\)
Комплекс комплексных чисел:
\(\
z_{1} \cdot z_{2}=r_{1} \cdot r_{2} \cdot e^{i\left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)}=3 \cdot 2 \cdot e^{i\left(-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}\right)}=6 e^{-\frac{\pi}{6} i}
\)
\(\
z_{1} \cdot z_{2}=6 e^{-\frac{\pi}{6} i}
\)