Узнать цену работы
Статьи по теме

Умножение комплексных чисел

Рассмотрим умножение комплексных чисел, написанных в алгебраических, тригонометрических и экспоненциальных формах.

Алгебраическое умножение

Умножение комплексных чисел \(\ z_{1}=x_{1}+i y_{1} \) и \(\ z_{2}=x_{2}+i y_{2} \) выполняется прямым произведением чисел в алгебраической форме с учетом свойства мнимой единицы \(\ i^{2}=-1 \):

\(\ z_{1} \cdot z_{2}=\left(x_{1}+i y_{1}\right) \cdot\left(x_{2}+i y_{2}\right)=x_{1} \cdot x_{2}+i^{2} \cdot y_{1} \cdot y_{2}+\left(x_{1} \cdot i y_{2}+x_{2} \cdot i y_{1}\right)= \)

\(\ =\left(x_{1} \cdot x_{2}-y_{1} \cdot y_{2}\right)+i\left(x_{1} \cdot y_{2}+x_{2} \cdot y_{1}\right) \)

ПРИМЕР

  • Задача

    Найти произведение комплексных чисел \(\ z_{1}=1+3 i \), \(\ z_{2}=5-2 i \)

  • Решение

    Используйте формулу, описанную выше. Произведением комплексных чисел является:

    \(\ z_{1} \cdot z_{2}=\left(x_{1} \cdot x_{2}-y_{1} \cdot y_{2}\right)+i\left(x_{1} \cdot y_{2}+x_{2} \cdot y_{1}\right)=(1 \cdot 5-3 \cdot(-2))+i(3 \cdot 5+1 \cdot(-2))=11+13 i \)

  • Ответ

    \(\ z_{1} \cdot z_{2}=11+13 i \)

    Умножение в тригонометрической форме

    Для произведения комплексных чисел в тригонометрической форме справедливо равенство:

    \(\ z_{1} \cdot z_{2}=r_{1} \cdot r_{2}\left(\cos \left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)+i \sin \left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)\right) \)

    ПРИМЕР

  • Задача

    Найдите произведение комплексных чисел \(\ z_{1}=2\left(\cos \frac{\pi}{2}+i \sin \frac{\pi}{2}\right) \) и \(\ z_{2}=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right) \).

  • Решение.

    Комплекс комплексных чисел:

    \(\ z_{1} \cdot z_{2}=r_{1} \cdot r_{2}\left(\cos \left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)+i \sin \left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)\right)=2 \cdot \sqrt{2}\left(\cos \left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right)= \)

    \(\ =2 \sqrt{2}\left(\cos \frac{3 \pi}{4}+i \sin \frac{3 \pi}{4}\right)=2 \sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-2+2 i \)

  • Ответ

    \(\ z_{1} \cdot z_{2}=2+2 i \)

    Умножение в экспоненциальной форме

    Для произведения комплексных чисел в тригонометрической форме справедливо равенство:

    \(\ z_{1} \cdot z_{2}=r_{1} \cdot e^{i \varphi_{1}} \cdot r_{2} \cdot e^{i \varphi_{2}}=r_{1} \cdot r_{2} \cdot e^{i \varphi_{1}+i \varphi_{2}}=r_{1} \cdot r_{2} \cdot e^{i\left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)} \)

    ПРИМЕР

  • Задача

    Чтобы найти произведение комплексных чисел \(\ z_{1}=3 e^{-\frac{\pi}{2} i} \) и \(\ z_{2}=2 e^{\frac{\pi}{3} i} \)

  • Решение.

    Комплекс комплексных чисел:

    \(\ z_{1} \cdot z_{2}=r_{1} \cdot r_{2} \cdot e^{i\left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)}=3 \cdot 2 \cdot e^{i\left(-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}\right)}=6 e^{-\frac{\pi}{6} i} \)

  • Ответ

    \(\ z_{1} \cdot z_{2}=6 e^{-\frac{\pi}{6} i} \)

  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ