Умножение матриц
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Произведение матрицы
\(\
A=\left\|a_{i j}\right\|,(i=\overline{1, m} ; j=\overline{1, n})
\) размера \(\
m \times n
\) и матрицы \(\
B=\left\|b_{i j}\right\|,(i=\overline{1, n} ; j=\overline{1, k})
\) размера \(\
n \times k
\) называется матрицей \(\
C=\left\|c_{i j}\right\|
\) , \(\
i=\overline{1, m} ; j=\overline{1, k}, m \times k
\) , \(\
c_{i j}=a_{i 1} b_{1 j}+a_{i 2} b_{2 j}+\ldots+a_{i n} b_{n j}=\sum_{s=1}^{n} a_{s n} b_{s j}
\)
Другими словами, элемент \(\
c_{i j}
\) матрицы \(\
C=A \cdot B
\) , стоящий в i-й строке и j-м столбце, равен сумме произведений i-й строки матрицы \(\
A
\) на соответствующие элементы j-й столбец матрицы \(\
В
\). Таким образом, умножение выполняется в соответствии с правилом умножения строки на столбец.
Не каждые две матрицы можно умножить. Произведение \(\
A \cdot B
\) двух матриц возможно только в том случае, если число столбцов матрицы \(\
A
\) совпадает с числом строк в матрице \(\
В
\). Чтобы умножить две квадратные матрицы, необходимо, чтобы они были одного порядка. В этом случае результатом является матрица того же порядка, что и матрицы, подлежащие умножению.
Как умножить матрицы, примеры
ПРИМЕР 1
Найти произведение матрицы\(\
A
\) и вектора столбца \(\
В
\).
\(\
A=\left(\begin{array}{cccc}{2} & {0} & {4} & {-1} \\ {1} & {-1} & {1} & {0}\end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{c}{2} \\ {1} \\ {0} \\ {-2}\end{array}\right)
\)
Матрица решений \(\
A
\) имеет размерность \(\
2 \times 4
\) , матрица \(\
В
\) имеет размерность \(\
4 \times 1
\) , поэтому размер произведения \(\
A \cdot B
\) будет равен \(\
2 \times 1
\) . В самом деле,
\(\
A \cdot B=\left(\begin{array}{cccc}{2} & {0} & {4} & {-1} \\ {1} & {-1} & {1} & {0}\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}{2} \\ {1} \\ {0} \\ {-2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{2 \cdot 2+0 \cdot 1+4 \cdot 0+(-1) \cdot(-2)} \\ {1 \cdot 2+(-1) \cdot 1+1 \cdot 0+0 \cdot(-2)}\end{array}\right)=
\)
\(\
=\left(\begin{array}{l}{4+0+0+2} \\ {2-1+0+0}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}{6} \\ {1}\end{array}\right)
\)
Заметим, что произведение этих матриц в обратном порядке \(\
B \cdot A
\) невозможно.
\(\
A \cdot B=\left(\begin{array}{l}{6} \\ {1}\end{array}\right)
\)
Произведение двух матриц в общем случае зависит от порядка факторов, т. е. Не является коммутативным:
\(\
A \cdot B \neq B \cdot A
\)
ПРИМЕР 2
Даны матрицы задач \(\
A
\) и \(\
В
\). Найдите их работы \(\
A \cdot B
\) и \(\
A \cdot B
\)
\(\
A=\left(\begin{array}{cc}{-1} & {1} \\ {2} & {0} \\ {0} & {3}\end{array}\right) \quad, \quad B=\left(\begin{array}{ccc}{3} & {1} & {2} \\ {0} & {-1} & {4}\end{array}\right)
\)
Матрица решений \(\
A
\) имеет размерность \(\
3 \times 2
\) , а матрица \(\
В
\) имеет размерность \(\
2 \times 3
\), то размерность произведения \(\
A \cdot B
\) будет равна \(\
3 \times 3
\) . Действительно, умножая по принципу строку первой матрицы на второй столбец, получим
\(\
A \cdot B=\left(\begin{array}{cc}{-1} & {1} \\ {2} & {0} \\ {0} & {3}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{3} & {1} & {2} \\ {0} & {-1} & {4}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{-1 \cdot 3+1 \cdot 0} & {-1 \cdot 1+1 \cdot(-1)} & {-1 \cdot 2+1 \cdot 4} \\ {2 \cdot 3+0 \cdot 0} & {2 \cdot 1+0 \cdot(-1)} & {2 \cdot 2+0 \cdot 4} \\ {0 \cdot 3+3 \cdot 0} & {0 \cdot 1+3 \cdot(-1)} & {0 \cdot 2+3 \cdot 4}\end{array}\right)=
\)
\(\
=\left(\begin{array}{ccc}{-3} & {-2} & {2} \\ {6} & {2} & {4} \\ {0} & {-3} & {12}\end{array}\right)
\)
Продукт \(\
A \cdot B
\) В также будет существовать и его размерность будет \(\
2 \times 2
\)
\(\
B \cdot A=\left(\begin{array}{ccc}{3} & {1} & {2} \\ {0} & {-1} & {4}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{-1} & {1} \\ {2} & {0} \\ {0} & {3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{3 \cdot(-1)+1 \cdot 2+2 \cdot 0} & {3 \cdot 1+1 \cdot 0+2 \cdot 3} \\ {0} & {0}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{3 \cdot(-1)+1 \cdot 2+2 \cdot 0} & {3 \cdot 1+1 \cdot 0+2 \cdot 3} \\ {0 \cdot(-1)+(-1) \cdot 2+4 \cdot 0} & {0 \cdot 1+(-1) \cdot 0+4 \cdot 3} & {}\end{array}\right)=
\)
\(\
=\left(\begin{array}{ccc}{-3} & {-2} & {2} \\ {6} & {2} & {4} \\ {0} & {-3} & {12}\end{array}\right)
\)
\(\
A \cdot B=\left(\begin{array}{ccc}{-3} & {-2} & {2} \\ {6} & {2} & {4} \\ {0} & {-3} & {12}\end{array}\right) \quad ; \quad B \cdot A=\left(\begin{array}{cc}{-1} & {9} \\ {-2} & {12}\end{array}\right)
\)
Но существуют матрицы, для которых выполняется равенство.
\(\
A \cdot B=B \cdot A
\)
такие матрицы называются перестановочными или коммутирующими. Такие матрицы будут обязательно квадратными.
ПРИМЕР 3
состоит в том, чтобы проверить, являются ли матрицы перестановок \(\
A
\) и \(\
В
\), если
\(\
A=\left(\begin{array}{cc}{1} & {-2} \\ {2} & {0}\end{array}\right) \quad, \quad B=\left(\begin{array}{cc}{-3} & {-2} \\ {2} & {-4}\end{array}\right)
\)
Найти произведения этих матриц \(\
A \cdot B
\) и \(\
A \cdot B
\)
\(\
A \cdot B=\left(\begin{array}{cc}{1} & {-2} \\ {2} & {0}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{-3} & {-2} \\ {2} & {-4}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{1 \cdot(-3)+(-2) \cdot 2} & {1 \cdot(-2)+(-2) \cdot(-4)} \\ {2 \cdot(-3)+0 \cdot 2} & {2 \cdot(-2)+0 \cdot(-4)}\end{array}\right)=
\)
\(\
=\left(\begin{array}{cc}{-7} & {6} \\ {-6} & {-4}\end{array}\right)
\)
\(\
B \cdot A=\left(\begin{array}{cc}{-3} & {-2} \\ {2} & {-4}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{1} & {-2} \\ {2} & {0}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{(-2) \cdot(-2)} & {(-3)+(-2) \cdot 0} \\ {2 \cdot 1+(-4) \cdot 2} & {2 \cdot(-2)+(-4) \cdot 0}\end{array}\right)=
\)
\(\
=\left(\begin{array}{cc}{-7} & {6} \\ {-6} & {-4}\end{array}\right)
\)
Таким образом, для заданных матриц имеет место равенство \(\
A \cdot B=B \cdot A
\) ; поэтому они перестановочны.