Узнать цену работы
Статьи по теме

Упрощение логических выражений

Для написания любой логической функции может быть использовано логическое выражение, после чего можно составить логическую схему. Как правило, все логические выражения упрощают для получения максимально простой и дешевой логической схемы. В сущности, логическая схема, выражение и логическая функция, являются тремя различными языками, повествующими об одном и том же.

Логические выражения упрощают при помощи различных законов алгебры логики. Часть преобразований напоминает преобразования формул, выполняемые в классической алгебре (например, применение сочетательного и переместительного законов, вынесение за скобки равенства общего множителя и так далее). Для других преобразований используют свойства, которых лишены операции классической алгебры.

Любые законы алгебры логики выводят для главных логических операций следующим образом: НЕ - инверсия (то есть, отрицание); ИЛИ - дизъюнкция (то есть, логическое сложение); И - конъюнкция (то есть, логическое умножение).

Закон двойного отрицания состоит в том, что операция НЕ является обратимой: если ее использовать два раза, логическое значение в результате останется неизменным.

Сущность закона исключенного третьего состоит в том, что каждое логическое выражение при любых условиях является истинным, либо ложным. Если A=1, тогда A=0, а также наоборот. Конъюнкция данных величин всегда равняется 0, дизъюнкция равна 1.

Закон повторения и операции с константами легко можно проверить, используя таблицы истинности операций ИЛИ и И.

Сочетательный и переместительный законы имеют такой же вид, как в математике. Аналогия с привычной всем классической алгеброй.

Для дизъюнкции распределительный закон состоит просто в раскрытии скобок. Для конъюнкции выражение неизвестно, в математике подобное равенство является неверным. Начнем доказывать с правой части. Сначала раскроем скобки:

(A+B)⋅(A+C)=A⋅A+A⋅C+B⋅A+B⋅C

Используем закон повторение, гласящий, что A⋅A=A,

Затем A⋅A+C⋅A=A+C⋅A=A⋅(1+C)=A⋅1=A

A+A⋅B=A⋅(1+B)=A⋅1=A, следовательно, (A+B)⋅(A+C)=A+B⋅C.

Мы доказали равенство.

Правил, используемые для раскрытия инверсии сложных выражений, назвали именем известного логика и математика де Моргана. Суть состоит в том, что общее отрицание не только распространяется на отдельные выражения, а еще и дизъюнкция заменяется конъюнкцией (а также наоборот). Для доказательства данных правил используются таблицы истинности.

Основная часть аксиом и законов алгебры логики записаны попарно. Внимательно изучая пары, можно сформулировать принцип двойственности, звучащий следующим образом: если осуществить в тождестве замены конъюнкции, а также дизъюнкции. И также элементов 1 и 0 (при их наличии), получится тождество. Данное свойство именуют принципом двойственности.

Упрощения логических выражений в примерах

Формула, вытекающая из распределительного закона. При ее выведении применили вышеупомянутое правило де Моргана для дизъюнкции, а также использовали закон двойного отрицания, после чего сомножитель X, вынесли за скобку, тогда как в скобках получили закон исключённого третьего, а также применили операцию с константами.

Примеры упрощения логических выражений

Пример первый

Кто из рабочих, обозначенных, как A, B, C, D работает на заводе, а кто нет, если нам даны следующие условия:

  • если работает A либо работает B, тогда не работает C;
  • если не работает B, тогда работает D, а также работает C.

Решение задачи. Обозначим несколько простых высказываний:

  1. A рабочий A на заводе работает;
  2. B рабочий B на заводе работает;
  3. C рабочий C на заводе работает;
  4. D рабочий D на заводе работает.

Сформулировав данные из условия при помощи этих простых высказываний, получим следующее:

Получаем следующую конъюнкцию: ((A+B)→C)⋅(B→C⋅D)⋅C.

После упрощения данной формулы получаем, что A равно 0, B равно 1, C равно 1, D равно 1.

Ответ: ученик A на заводе не работает, а ученики B, C, D играют.

В этом примере применено правило де Моргана, затем использован распределительный закон, после этого применен закон исключенного третьего, потом использован переместительный закон. За ним реализован закон повторения, потом опять применен переместительный закон и, наконец, использован закон поглощения.

Чтобы отыскать решения логического уравнения можно также применить упрощение логических выражений.

Нужно отыскать все решения данного уравнения

Применив правило де Моргана, получим

B+C+A¯+A¯⋅C¯+D=0

а затем применяем закон поглощения и получаем

B+C+A¯+D=0

Чтобы логическая сумма равнялась нулю, все слагаемые должны равняться нулю, из чего следует, что

A равно 1, B равно 0, C равно 0, D равно 0.

Узнать цену работы
Узнай цену
своей работы
Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
Закажи свою оригинальную работу
УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ