Узнать цену работы
Статьи по теме

Уравнение бегущей волны

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Бегущие волны - это волны, несущие энергию в пространстве. Передача энергии в волнах количественно характеризуется вектором плотности потока энергии. Этот вектор называется вектором плотности потока. (Для упругих волн - вектор Умова).

Теория об уравнении бегущей волны

Когда мы говорим о движении тела, мы имеем в виду движение в пространстве его. В случае волнового движения речь идет не о перемещении среды или поля, а о перемещении возбужденного состояния среды или поля. В волне определенное состояние, сначала локализованное в одном месте пространства, передается (перемещается) в другие соседние точки пространства.

Состояние среды или поля в данной точке пространства характеризуется одним или несколькими параметрами. Такими параметрами, например, в волне, сформированной на струне, является отклонение этого участка строки от положения равновесия (x) в звуковой волне на воздухе - это значение, характеризующее сжатие или расширение воздуха, в электромагнитная волна - это модули векторов и .Важнейшей концепцией для любой волны является фаза. Фаза - это состояние волны в данной точке и в заданное время, как описано соответствующими параметрами. Например, фаза электромагнитной волны задается модулями векторов и ( . Фаза от точки к точке меняется. Таким образом, фаза волны в математическом смысле является функцией координат и времени. Понятие фазы связано с понятием волновой поверхности. Это поверхность, все точки которой в данный момент находятся в одной фазе, т. Е. Это поверхность постоянной фазы.

Понятия поверхности и фазы волны позволяют нам провести определенную классификацию волн в зависимости от характера их поведения в пространстве и времени. Если волновые поверхности движутся в пространстве (например, обычные волны на поверхности воды), то волна называется движением.

Движущиеся волны можно разделить на: плоские, сферические и цилиндрические.

Уравнение движения плоской волны

Плоское гармоническое волновое уравнение является выражением вида:

или (что то же самое)

где x можно понимать как любой параметр, характеризующий состояние среды (например, давление, температура и т. д.); Амплитуда волны; w - циклическая частота; r - расстояние от источника, возбуждающего волну до точки в пространстве, где рассматривается изменение некоторого свойства среды, v - скорость волны; - начальная фаза волны (выбрана ссылкой). И отличаются сдвигом по волновому числу; - длина волны; выражение называется фазой волны.

Экспоненциальная форма записи уравнения бегущей волны

Экспоненциальная форма уравнения (1):

где - радиус вектора, втянутого в рассматриваемую среду; - волновой вектор; - единичный вектор, указывающий направление волны, - комплексная амплитуда.

Для уравнения (2) следует отметить, что эта форма записи удобна для дифференцирования волновых уравнений. Однако только реальная часть экспоненциального выражения имеет физический смысл.

Уравнение сферической и цилиндрической бегущей волны

Сферическое уравнение бегущей волны:

В экспоненциальной форме уравнение сферической волны имеет вид:

- комплексная амплитуда. Всюду, кроме особой точки г = 0, функция х удовлетворяет волновому уравнению .

Цилиндрическое уравнение для бегущей волны:

где r - расстояние от оси.

где - комплексная амплитуда.

Примеры решения проблем

ПРИМЕР 1

  • Задача

    Плоская, незатухающая звуковая волна возбуждается источником частотных колебаний v Амплитуда колебаний источника а. Напишите уравнение колебаний источника x (0, t), если в начальный момент максимальное смещение точек источника.

  • Решение.

    Запишем уравнение бегущей волны, зная, что она плоская:

    Мы используем уравнения в обозначениях, в начальный момент времени (t = 0) записываем (1.1):

    Из условий задачи известно, что в начальный момент смещение точек источника максимальна. Следовательно,

    Получаем: , поэтому в точке, где находится источник (т. Е. При г = 0).

    Соответственно:

  • Ответ

    ПРИМЕР 2

  • Задача

    На рисунке показан график смещений в продольной бегущей бегущей волне за некоторый момент времени t. Нарисуйте под этим графом приблизительный график плотности энергии w для той же точки времени t.

    Уравнение волновой волны

  • Решение

    На рисунке показан «моментальный снимок» смещения частиц в бегущей волне

    На основе рисунка волна может быть описана уравнением в некоторый момент времени t:

    В случае продольной плоской волны плотность энергии выражается как:

    где - плотность среды, в которой распространяются волны, v - скорость колебательного движения частиц вдоль оси х.

  • подставляя (2.1) в (2.3), а затем в (2.2) получаем:

    . На основе полученной функции мы рисуем график плотности энергии передаваемой волны (рис.2)

    Уравнение движения плоской волны

  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ