Уравнение Эйлера

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Уравнение Эйлера представляет собой гидродинамическое уравнение, описывающее поток идеальной жидкости и учитывающее силы, действующие на жидкость.

В модели Эйлера рассматривается идеальная жидкость, в которой нет теплопроводности (жидкость имеет постоянную температуру, не нагревается или не охлаждается) и вязкости (в флюиде нет трения). Поэтому силы, действующие на такую жидкость, сводятся к силам давления собственных масс, гравитационных и инерционных сил.

Уравнение Эйлера в векторной форме

В векторной форме уравнение Эйлера имеет вид:

Слагаемые в правой части учитывают влияние внешних сил и давления собственной массы жидкости: - интенсивность внешнего силового поля, p (x, y, z, t) равна давление в жидкости, - плотность жидкости. Вектор - скорость жидкости. является существенной производной, которая является ускорением движущейся точки в материальной среде. Существенную производную можно разложить на частные производные, а затем уравнение Эйлера примет вид:

Последнее уравнение также называется уравнением движения невязкой жидкости в виде Громеко. Это также удобно, потому что он выделяет вихревую составляющую движения в виде члена , а частная производная по времени отражает локальную характеристику ускорения нестационарных токов.

Решение уравнения Эйлера

При расчете удобнее использовать уравнение Эйлера в скалярном виде:

где векторы скорости и внешних сил, а также поля давления разлагаются как проекции на координатные оси.

При решении простых прикладных задач гидродинамики и газовой динамики иногда достаточно рассмотреть одномерный поток, установленный во времени. В этом случае уравнение Эйлера принимает простой вид:

Интегрируя это выражение, вы можете получить уравнение Бернулли:

Уравнение Эйлера, лежащее в основе гидродинамики, используется в различных областях: при проектировании самолетов и кораблей, при расчете турбин, насосов и трубопроводов, при изучении морских течений и движении подземных вод.

Примеры решения проблем

ПРИМЕР 1