Уравнение колебаний
Определение и уравнение вибрации
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Колебательные движения (или колебания) в физике и технике называют такими типами движений (или изменениями состояния), которые имеют некоторую степень повторяемости.
Колебания, которые происходят по законам синуса или косинуса, называются гармоническими.
Уравнение гармонических колебаний:
Уравнение вида:
Типы периодических колебаний могут быть с любой степенью точности представлены в виде суммы гармонических колебаний, так называемых гармонических рядов.
Колебания, которые тело будет выполнять, если они выведены из равновесия (независимо от того, как) и оставлены сами по себе, называются свободными (собственными) вибрациями. Если собственные колебания обусловлены наличием только квазиупругой силы, то они будут гармоническими.
Колебания тела, вызванные одновременным воздействием квазиупругой силы и силы трения (которая пропорциональна мгновенной скорости: Уравнение (3) называется дифференциальным затухающим уравнением. Здесь Решение дифференциального уравнения колебаний
Решением дифференциального уравнения затухающих колебаний (3) является отношение вида:
Уравнение (4) называется уравнением затухающего колебания. В уравнении (4) видно, что амплитуда затухающих колебаний зависит от времени. Константы А и рис 1.
Период затухающих колебаний рассчитывается по формуле (5):
Коэффициент физического ослабления означает, что коэффициент затухания является обратной величиной времени релаксации. Время релаксации - время, в течение которого амплитуда уменьшается в е. Однако коэффициент затухания не полностью характеризует затухание. Демпфирование вибрации обычно характеризуется декрементом демпфирования. Последнее показывает, сколько раз амплитуда колебаний уменьшается за время, равное периоду колебаний. То есть декремент затухания определяется как:
Логарифм декремента затухания называется логарифмическим декрементом; он, очевидно, равен:
Если колебательная система подвергается внешней периодической силе, то возникают так называемые вынужденные колебания, имеющие не затухающий характер.
Принудительные вибрации следует отличать от автоколебаний. В случае автоколебаний в системе предполагается специальный механизм, который со временем со своими колебаниями «подает» небольшую часть энергии в систему.
Примеры решения проблем
ПРИМЕР 1
Найти энергию свободных колебаний нагрузки, подвешенной на пружине. Рассмотрим случай физического маятника, зная, что жесткость пружины равна k, амплитуда колебаний A.
рис 1,1
Найдем энергию свободных колебаний. Он представлен двумя типами энергии: кинетическими и потенциальными. Для пружинного подвесного шара:
Шаровые колебания описывают уравнение колебаний:
мы напишем уравнение скорости шара, зная, что Подставляя (1.2) и (1.3) в (1.1), получаем:
Энергия свободных колебаний пропорциональна квадрату амплитуды колебаний ПРИМЕР 2
Одно колебательное движение выполняется вдоль оси X, другое - вдоль оси Y. Колебания гармоничны.
1) Частоты и фазы колебаний одинаковы, а амплитуды различны.
2) Частоты колебаний одинаковы, амплитуды различны. Фазы, складывающиеся колебания отличаются друг от друга на Определите, каковы траектории результирующих движений, если эти колебания складываются?
Запишем уравнения колебаний для каждого движения:
Чтобы найти траекторию результирующего движения, нам нужно исключить время из уравнений (2.1), (2.2). Для этого достаточно разделить по одному одно уравнение на другое, в результате получим:
Уравнение (2.3.) Показывает, что в этом случае добавление колебаний приводит к колебаниям по прямой, касательная которых определяется отношением амплитуд.
2. Пусть фазы добавленных колебаний отличаются друг от друга Чтобы найти траекторию результирующего движения, исключив время, нам нужно квадратировать уравнения (2.3) и (2.4), сначала разделяя их на A1 и A2 соответственно, а затем складывая их. Уравнение траектории принимает вид:
Это уравнение эллипса. Для любых начальных фаз и любых амплитуд двух смещающихся взаимно перпендикулярных колебаний той же частоты результирующее колебание будет эллиптическим. Его ориентация будет зависеть от фаз и амплитуд добавленных колебаний.
1) В этом случае добавление колебаний приводит к тому, что колебания происходят по прямой, наклон которой равен 2) Траектория результирующего движения является эллипсом.
где t - время; x-значение, изменяющееся со временем (координата, заряд, ток, EMF и т. д.); A - амплитуда колебаний - максимальное отклонение осциллирующей величины от среднего (нулевого) значения;
- фаза колебаний;
- начальная фаза; w - циклическая частота (изменение фазы за единицу времени). За период фаза изменяется на
Дифференциальное уравнение гармонических колебаний
дифференциальное уравнение гармонических колебаний.
, называются затухающими колебаниями.
- коэффициент затухания.
определяются начальными условиями. Амплитуда колебаний уменьшается, и они обычно выглядят так, как показано на рис.
движение происходит только вдоль оси X, поэтому:
зная, что для физического маятника
.
, то уравнения имеют вид: