Уравнение моментов
Определение и уравнение моментов
Пусть O - любая неподвижная точка в инерциальной системе отсчета. Это называется началом или полюсом. Обозначим через
радиус-вектор, взятый от этой точки до точки приложения силы
(рис.1).
рис 1.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Момент силы направление Моментом Момент импульса материальной точки
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Момент импульса материальной точки относительно точки O является векторным произведением радиус-вектора где J - момент инерции, Система из n материальных точек - это момент количества движения относительно некоторой точки O - векторная сумма моментов импульсов этих точек относительно того же начала:
Временная производная от момента импульса Для материальной точки уравнение момента написано:
Уравнение (6) называется моментом для системы материальных точек. Это основной закон динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки.
В проекциях на оси фиксированной декартовой системы координат с началом на полюсе O уравнение моментов системы записывается в виде:
где Уравнение моментов позволяет получить ответ на следующие вопросы:
1. найти момент силы (общий момент внешних сил) относительно интересующей нас точки в любой момент времени, если известна зависимость момента количества движения частицы (системы частиц) от одной и той же точки;
2. определить приращение углового момента частицы (системы частиц) относительно точки O для любого периода времени, если временная зависимость силового момента (полного момента внешних сил), действующего на эту частицу (система частиц) относительно одной и той же точки.
Примеры решения проблем
ПРИМЕР 1
Сравните угловые скорости, полученные материальной точкой под действием крутящих моментов, графики (a, b) которых показаны на рисунках.
рис 2.
В соответствии с уравнением моментов для материальной точки мы имеем:
где поскольку мы имеем дело с материальной точкой, соответственно, J не зависит от времени, получаем:
откуда Вспомните геометрический смысл интеграла.
Вычислить и сравнить площадь треугольников OAB и OCD.
Области треугольников равны соответственно Угловые скорости, полученные материальной точкой, равны в первом и втором случаях.
ПРИМЕР 2
Горизонтальный диск с радиусом R = 0,2 м и массой m = 5 кг вращается вокруг оси, проходящей через ее центр. Зависимость угловой скорости вращения диска от времени определяется уравнением w = A + 8t. Найдите значение касательной силы, приложенной к ободу диска. Трение пренебрегалось.
Мы делаем рисунок
рис 3.
Запишем уравнение моментов:
где Поскольку мы имеем дело с телом, который не меняет момент инерции со временем, мы имеем:
Где Подставим числовые значения, получим:
Величина (модуль) касательной силы, приложенной к краю диска, равна 4 N.
относительно точки O является векторным произведением радиус-вектора
и силы
:
выбрано так, что последовательность векторов
образует правую систему, т. е. если вы посмотрите вдоль вектора
,то поворот вдоль кратчайшего пути от первого фактора в (1) до вторая выполняется по часовой стрелке, таким образом
совпадает с направлением поступательного движения правого штыря, ручка которого вращается от
до
вдоль кратчайшего пути.
нескольких сил относительно точки является векторная сумма моментов этих сил относительно одной и той же точки:
и импульса
:
- угловая скорость вращения тела.
механической системы относительно неподвижной точки (полюса О) равна сумме внешних силовых моментов
, действующих на систему:
- проекция момента количества движения на соответствующей оси;
- проекции полного момента сил на соответствующую ось.
- искомая сила. Перепишите (2.2), найдите модуль:
- угол между вектором
и
равен
, так как силы, касательные к диску,
направлены вдоль радиуса диска в точку касания, следовательно, M = RF.
- момент инерции диска относительно оси, проходящей через его центр.
, получим: