Узнать цену работы
Статьи по теме

Уравнение моментов

Определение и уравнение моментов

Пусть O - любая неподвижная точка в инерциальной системе отсчета. Это называется началом или полюсом. Обозначим через радиус-вектор, взятый от этой точки до точки приложения силы (рис.1).

рис 1.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Момент силы относительно точки O является векторным произведением радиус-вектора и силы :

направление выбрано так, что последовательность векторов образует правую систему, т. е. если вы посмотрите вдоль вектора ,то поворот вдоль кратчайшего пути от первого фактора в (1) до вторая выполняется по часовой стрелке, таким образом совпадает с направлением поступательного движения правого штыря, ручка которого вращается от до вдоль кратчайшего пути.

Моментом нескольких сил относительно точки является векторная сумма моментов этих сил относительно одной и той же точки:

Момент импульса материальной точки

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Момент импульса материальной точки относительно точки O является векторным произведением радиус-вектора и импульса

:

где J - момент инерции, - угловая скорость вращения тела.

Система из n материальных точек - это момент количества движения относительно некоторой точки O - векторная сумма моментов импульсов этих точек относительно того же начала:

Временная производная от момента импульса механической системы относительно неподвижной точки (полюса О) равна сумме внешних силовых моментов , действующих на систему:

Для материальной точки уравнение момента написано:

Уравнение (6) называется моментом для системы материальных точек. Это основной закон динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки.

В проекциях на оси фиксированной декартовой системы координат с началом на полюсе O уравнение моментов системы записывается в виде:

где - проекция момента количества движения на соответствующей оси; - проекции полного момента сил на соответствующую ось.

Уравнение моментов позволяет получить ответ на следующие вопросы:

1. найти момент силы (общий момент внешних сил) относительно интересующей нас точки в любой момент времени, если известна зависимость момента количества движения частицы (системы частиц) от одной и той же точки;

2. определить приращение углового момента частицы (системы частиц) относительно точки O для любого периода времени, если временная зависимость силового момента (полного момента внешних сил), действующего на эту частицу (система частиц) относительно одной и той же точки.

Примеры решения проблем

ПРИМЕР 1

  • Задача

    Сравните угловые скорости, полученные материальной точкой под действием крутящих моментов, графики (a, b) которых показаны на рисунках.

    рис 2.

  • Решение.

    В соответствии с уравнением моментов для материальной точки мы имеем:

    где

    поскольку мы имеем дело с материальной точкой, соответственно, J не зависит от времени, получаем:

    откуда

    Вспомните геометрический смысл интеграла.

    Вычислить и сравнить площадь треугольников OAB и OCD.

    Области треугольников равны соответственно

  • Ответ.

    Угловые скорости, полученные материальной точкой, равны в первом и втором случаях.

    ПРИМЕР 2

  • Задача

    Горизонтальный диск с радиусом R = 0,2 м и массой m = 5 кг вращается вокруг оси, проходящей через ее центр. Зависимость угловой скорости вращения диска от времени определяется уравнением w = A + 8t. Найдите значение касательной силы, приложенной к ободу диска. Трение пренебрегалось.

  • Решение

    Мы делаем рисунок

    рис 3.

    Запишем уравнение моментов:

    где - искомая сила. Перепишите (2.2), найдите модуль: - угол между вектором и равен , так как силы, касательные к диску, направлены вдоль радиуса диска в точку касания, следовательно, M = RF.

    Поскольку мы имеем дело с телом, который не меняет момент инерции со временем, мы имеем:

    Где - момент инерции диска относительно оси, проходящей через его центр.

    , получим:

    Подставим числовые значения, получим:

  • Ответ.

    Величина (модуль) касательной силы, приложенной к краю диска, равна 4 N.

  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ