Уравнение затухающих колебаний

Затухание колебаний

Свободные колебания в реальных условиях не могут длиться вечно. Для механических систем всегда имеет место сопротивление среды, в результате чего энергия движения объекта рассеивается трением. В электромагнитных цепях колебания затухают из-за сопротивления проводников.

График затухания

Затухающее уравнение

Уравнение затухающих колебаний описывает движение реальных колебательных систем. В дифференциальной форме он записывается следующим образом:

Из этого выражения вы можете получить другую каноническую форму:

либо

Здесь x и t - координаты пространства и времени, A - начальная амплитуда. - коэффициент затухания, который зависит от сопротивления среды r и массы осциллирующего объекта m:

Чем больше сопротивление среды, тем больше энергии рассеивается вязким трением. И наоборот - чем больше масса (и, следовательно, инерция) тела, тем дольше он будет продолжать двигаться.

Циклическая частота свободных колебаний (той же системы, но без трения) учитывает упругую силу в системе (например, жесткость пружины k):

Строго говоря, в случае затухающих колебаний невозможно говорить о периоде - время между повторяющимися движениями системы постоянно увеличивается. Однако, если колебания медленно исчезают, для них с достаточной точностью вы можете определить период T:

Циклическая частота затухающих колебаний

Другой характеристикой затухающих колебаний является циклическая частота:

Время релаксации - это коэффициент, указывающий, как долго амплитуда колебаний уменьшается в e раз:

Отношение амплитуды переменной в два последовательных периода называется коэффициентом затухания:

Такая же характеристика в расчетах часто представляется как логарифм:

Коэффициент качества Q характеризует, насколько упругие силы системы превышают силы сопротивления среды, предотвращая диссипацию энергии:

Примеры решения проблем

ПРИМЕР 1