Узнать цену работы
Статьи по теме

Уравнение затухающих колебаний

Затухание колебаний

Свободные колебания в реальных условиях не могут длиться вечно. Для механических систем всегда имеет место сопротивление среды, в результате чего энергия движения объекта рассеивается трением. В электромагнитных цепях колебания затухают из-за сопротивления проводников.

График затухания

Затухающее уравнение

Уравнение затухающих колебаний описывает движение реальных колебательных систем. В дифференциальной форме он записывается следующим образом:

Из этого выражения вы можете получить другую каноническую форму:

либо

Здесь x и t - координаты пространства и времени, A - начальная амплитуда. - коэффициент затухания, который зависит от сопротивления среды r и массы осциллирующего объекта m:

Чем больше сопротивление среды, тем больше энергии рассеивается вязким трением. И наоборот - чем больше масса (и, следовательно, инерция) тела, тем дольше он будет продолжать двигаться.

Циклическая частота свободных колебаний (той же системы, но без трения) учитывает упругую силу в системе (например, жесткость пружины k):

Строго говоря, в случае затухающих колебаний невозможно говорить о периоде - время между повторяющимися движениями системы постоянно увеличивается. Однако, если колебания медленно исчезают, для них с достаточной точностью вы можете определить период T:

Циклическая частота затухающих колебаний

Другой характеристикой затухающих колебаний является циклическая частота:

Время релаксации - это коэффициент, указывающий, как долго амплитуда колебаний уменьшается в e раз:

Отношение амплитуды переменной в два последовательных периода называется коэффициентом затухания:

Такая же характеристика в расчетах часто представляется как логарифм:

Коэффициент качества Q характеризует, насколько упругие силы системы превышают силы сопротивления среды, предотвращая диссипацию энергии:

Примеры решения проблем

ПРИМЕР 1

  • Задача

    После того, как груз был подвешен к весне, он растянулся на 9,8 см. Весна колеблется в вертикальном направлении .Определите период колебаний.

  • Решение

    Поскольку весна растягивается под весом, на ней действует гравитация:

    Сила тяжести противодействует пружинной силе:

    Из двух выражений получаем коэффициент упругости:

    Замените коэффициент упругости в формуле для периода затухающих колебаний:

    Зная, что декремент логарифмического демпфирования , из него выражаем неизвестную величину , подставляем в знаменатель формулы и выражаем T:

  • Ответ

    Т = 0,7 с

    ПРИМЕР 2

  • Задача

    Затухающие колебания характеризуются следующими параметрами: периодом T = 4 с, логарифмическим декрементом демпфирования . В начальный момент не было фазового отклонения. Когда система прошла четверть периода, отклонение точки составляло 4,5 см. Получите уравнение этого колебания, а также график.

  • Решение.

    Используйте уравнение для затухающих колебаний в канонической форме:

    Поскольку при t = 0 не было фазового отклонения, второй член в аргументе косинуса равен нулю.

    Определите циклическую частоту:

    Найти коэффициент затухания:

    Подставим найденные параметры, а также отклонение точки в момент времени в каноническое уравнение:

    Тогда уравнение для этих колебаний примет окончательный вид:

    В соответствии с этим мы вычисляем значения x для моментов времени до t = 3T = 12 c включительно и строим график.

  • Ответ

  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ