Узнать цену работы
Статьи по теме

Вектор Умова-Пойнтинга

Вектор электромагнитного энергетического потока, определяемый как:

получил название вектор Умова-Пойнтинга. Термин вектор, под которым подразумевается поток энергии в различных веществах, был введен Н.А. Умовым, в то время как математическое выражение было выведено Пойнтингом.

В случае электромагнитной волны векторы и и располагаются перпендикулярно, отсюда получается такое выражение вектора :

(!!!)

Рассматриваемый вектор располагается перпендикулярно относительно векторов и и , и аналогично направлению распространения волны ().

Выражение для модуля рассматриваемого вектора в случае электромагнитной волны плоского типа выглядит следующим образом:

(!!!)

поскольку:

(!!!)

и между мгновенными значениями напряженности полей магнитного и электрического типов в электромагнитной волне наблюдается такое соотношение:

откуда путем выражения напряженности поля магнитного типа получаем следующее:

(!!!)

Модуль рассматриваемого вектора имеет следующий вид:

(!!!)

Объемная плотность электромагнитного поля в диэлектрике:

(!!!)

При сравнении равенств (6) и (7) получаем:

(!!!)

Уравнения (2) -(8) включают в себя мгновенные показатели величин. Векторами в волне света осуществляются колебания с частотами около квадриллиона Герц, а потому довольно проблематично отслеживать изменения величин во времени. По этой причине берутся средние значения, переходящие от мгновенных величин. В случае электромагнитной волны плоского типа среднее значение по времени будет равно:

(!!!)

Вектор электромагнитного потока энергии связан с энергией электромагнитной волны следующим соотношением:

(!!!)

где ∂W∂t является энергией, проходящей через площадку S за определенное время, Pn=Pcosα является проекцией вектора P→ на нормаль n→ к площадке. С помощью вектора можно определить характеристику перемещения энергии электромагнитного поля.

Определение

Линии, касательные к которым во всех точках соответствуют направлениям вектора P→, являются путями распространения заключенной в электромагнитное поле энергии. В случае оптики такие линии именуют лучами.

Теорема Пойнтинга

Теорема

Формулировка законов сохранения импульса и энергии особенно важна для теории электромагнитных полей. Теорема Пойнтинга является распространенной формулировкой закона сохранения энергии. Скорость, с которой возрастает электромагнитная энергия в пределах конкретного объема в совокупности с энергией, вытекающей за конкретное время через поверхность и ограничивающую аналогичный объем, соответствует полной работе, совершаемой полем над источниками в определенном объеме, если он будет иметь отрицательное значение.

Стоит внести определенную ясность в данную формулировку. Выделим внутри какой-либо среды объем V, не выходящий за пределы поверхности S. Предположим, что заключенная в объеме полная энергия - это W. Тогда можно прибегнуть к такому уравнению:

(!!!)

где Pn является нормальной составляющей электромагнитной энергетического потока. Интегрирование в (4) осуществляется по всей поверхности замкнутого типа. Направление внешней нормали n→ считается положительным, что подразумевает поток вектора P→ (выражение в формуле (4) справа) принимается больше нуля, если линии энергетического потока P→ выводят за пределы объема.

Согласно закону сохранения энергии, энергия внутри объема V должна соответствовать выходящей через поверхность S энергии. Отсюда следует, что выходящая из объема V через поверхность энергия выражается потоком рассматриваемого вектора.

Пример

Задание: Необходимо написать выражение для вектора плотности энергетического потока, уравнение изменения вектора напряженности электрического поля которой приобретает следующий вид (!!!). Энергия перемещается с помощью волны. Амплитуда вектора напряжения поля магнитного типа в данном случае имеет следующий вид: (!!!)

Решение: Определение вектора Умова-Пойнтинга принимается в качестве основы:

(!!!) (1.1).

Согласно условиям, векторные колебания поля осуществляются по оси Z, а колебания соответствующего вектора магнитного поля по оси X. Отсюда следует, что вектор электромагнитного энергетического потока колеблется по оси Y.

Модуль необходимого вектора может быть найден следующим образом:

(!!!) (1.2)

Ищем амплитуду вектора H→, учитывая тот факт, что значения амплитуды связаны соотношением:

(!!!) (1.3).

Выразим из (1.3) необходимую амплитуду Hm, имеем:

(!!!) (1.4).

Уравнение колебаний вектора напряженности записывается в виде:

(!!!) (1.5).

Прибегнув к первому и пятому уравнению, а также уравнению из заданных условий, записываем выражение для вектора потока энергии электромагнитного типа:

(!!!) (1.6),

(!!!) отсюда следует:

(!!!).

Ответ: (!!!)

Пример

Задание: Конденсатор плоского типа с круглыми обкладками заряжен током постоянного типа за временной промежуток t0 до напряжения U. Расстояние между конденсаторными пластинами соответствует d. Необходимо записать выражение для точек воображаемой поверхности радиуса r цилиндрического типа, располагаемой между конденсаторными обкладками. Радиус пластин может принять большим, нежели радиус гипотетического цилиндра.

Решение: Определение вектора Умова-Пойнтинга берется в качестве основы в процессе решения задачи:

(!!!) (2.1).

Возникающее вследствие разрядки конденсатора электрическое поле переменного типа является причиной возникновения переменного магнитного поля. Прибегнем к уравнению из системы Максвелла, не забывая о том, что между конденсаторными обкладками токов отсутствует проводимость:

(!!!) (2.2).

и материальное уравнение:

(!!!) (2.3).

Берем производную от D→ по времени:

(!!!) (2.4).

Прибегаем к интегралу от rotH→ по поверхности цилиндра с радиусом r и прибегаем к теореме Стокса:

(!!!) (2.5),

Где

(!!!) (2.6),

(!!!) (2.7).

Приравняем правые части выражений (2.6), (2.7) с учетом пункта (2.5):

(!!!) (2.8).

Найдем модуль вектора электромагнитного энергетического потока, прибегнув к выражениям (2.1) и (2.8):

(!!!)

Ответ: (!!!).

Пример

Задание: Электромагнитная волна плоского типа распространяется в вакууме (ось X). Чему будет равна проходящая через поверхность средняя энергия?

Решение: Если у нас имеется электромагнитная волна плоского типа, тогда модули напряженности полей E→ и H→ в любой точке x могут быть представлены так:

(!!!) (1.1),

(!!!) (1.2),

где (!!!). Тогда мгновенное значение вектора P можно записать в таком виде:

(!!!) (1.3).

Поскольку согласно условию задачи волна может распространяться в вакууме, ε и μ соответствуют единице, тогда имеем такое соотношение между амплитудами полей:

(!!!) (1.4).

Помимо этого, известно, что среднее значение (!!!), тогда применяем два последних уравнения для получения среднего значения вектора:

(!!!).

Ответ: средняя энергия равна (!!!).

Пример

Задание: Определить среднее значение вектора электромагнитного энергетического потока в волне стоячего типа.

Решение: Колебания полей магнитного и электрического типа могут быть представлены в волне стоячего типа с применением таких гармонических законов:

(!!!) (2.1),

(!!!) (2.2),

где φE, φH являются обозначением фазового запаздывания отраженной волны того или иного поля, в частности:

(!!!) (2.3),

(!!!) (2.4),

здесь под θ,ϑ подразумевается фазовое изменение при отражении. Они равны или нулю, или π. L является длиной линии и если волна является свободной, тогда данное значение будет расстоянием от излучателя до отражающей поверхности. Обозначим:

(!!!) (2.5),

(!!!) (2.6),

колебания, исходя из первых двух формул в точке x, могут быть записаны в таком виде:

(!!!) (2.7),

(!!!) (2.8),

при этом E1 и H1 оказываются независимыми от времени. Предположим, что θ=π, тогда:

(!!!) (2.9),

(!!!) (2.10).

Исходя из последних двух уравнений, получаем следующее:

(!!!) (2.11).

Из данной формулы следует, что колебания модуля вектора P→ осуществляется с частотой 2ω и параллельно с этим происходит изменение знака с некоторой периодичностью. Отсюда следует, что среднее векторное значение по времени соответствует нулю (⟨P⟩=0).

Ответ: Стоячая волна лишена энергии, ⟨P⟩=0.

Узнать цену работы

Узнай цену

своей работы
Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
Закажи свою оригинальную работу
УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ