Виды дифференциальных уравнений
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Дифференциальное уравнение - это уравнение, которое связывает значение производной функции и значение независимой переменной.
Определения и всевозможные дифференциальные уравнения
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Обычные дифференциальные уравнения - это дифференциальные уравнения, зависящие от одной независимой переменной.
В общем, они имеют форму
\(\
F\left(x ; y ; y^{\prime} ; \ldots ; y^{(n)}\right)=0
\)
Здесь \(\
y=y(x)
\) - искомая функция, зависящая от независимой переменной x. Число n называется порядком дифференциального уравнения.
Например:\(\
y^{\prime \prime \prime}-2 x y^{\prime}-5 y=3
\)
Наиболее важными являются дифференциальные уравнения первого и второго порядка.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Частичные дифференциальные уравнения - это уравнения, содержащие неизвестные функции многих переменных и их частные производные. В общем случае такие уравнения можно записать следующим образом:
\(\
F\left(x_{1} ; x_{2} ; \ldots ; x_{m} ; z ; z_{x_{1}}^{\prime} ; z_{x_{2}}^{\prime} ; \ldots ; z_{x_{m}}^{\prime} ; z_{x_{1}^{2}}^{\prime \prime} ; z_{x_{1} x_{2}}^{\prime \prime} ; \ldots ; z_{x_{m}^{n}}^{(n)}\right)=0
\)
Здесь \(\
x_{1}, x_{2}, \dots, x_{m}
\)- независимые переменные, \(\
z=z\left(x_{1} ; x_{2} ; \ldots ; x_{m}\right)
\) - искомая функция нескольких переменных.
Например:\(\
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0
\)
Линейные и нелинейные дифференциальные уравнения
Обычные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных делятся на линейные и нелинейные.
Дифференциальное уравнение называется линейным, если неизвестная функция и ее производные входят в уравнение только к первой степени и не размножаются друг с другом:
\(\
g_{n}(x) y^{(n)}(x)+g_{n-1}(x) y^{(n-1)}(x)+\ldots+g_{1}(x) y^{\prime}(x)+g_{0}(x) y(x)=f(x)
\)
Здесь \(\
g_{i}(x)
\)- известные функции (коэффициенты уравнения); Функция \(\
f(x)
\) является свободным элементом (или правой частью).
Важным подклассом линейных уравнений являются линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Другим подклассом линейных уравнений являются однородные дифференциальные уравнения - уравнения, правые части которых равны нулю \(\
(f(x)=0)
\) .Все остальные линейные дифференциальные уравнения называются неоднородными дифференциальными уравнениями.
