Виды дифференциальных уравнений

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Дифференциальное уравнение - это уравнение, которое связывает значение производной функции и значение независимой переменной.

Определения и всевозможные дифференциальные уравнения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Обычные дифференциальные уравнения - это дифференциальные уравнения, зависящие от одной независимой переменной.

В общем, они имеют форму \(\ F\left(x ; y ; y^{\prime} ; \ldots ; y^{(n)}\right)=0 \)

Здесь \(\ y=y(x) \) - искомая функция, зависящая от независимой переменной x. Число n называется порядком дифференциального уравнения.

Например:\(\ y^{\prime \prime \prime}-2 x y^{\prime}-5 y=3 \)

Наиболее важными являются дифференциальные уравнения первого и второго порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Частичные дифференциальные уравнения - это уравнения, содержащие неизвестные функции многих переменных и их частные производные. В общем случае такие уравнения можно записать следующим образом: \(\ F\left(x_

; x_ ; \ldots ; x_{m} ; z ; z_{x_ }^{\prime} ; z_{x_ }^{\prime} ; \ldots ; z_{x_{m}}^{\prime} ; z_{x_ ^ }^{\prime \prime} ; z_{x_ x_ }^{\prime \prime} ; \ldots ; z_{x_{m}^{n}}^{(n)}\right)=0 \)

Здесь \(\ x_

, x_ , \dots, x_{m} \)- независимые переменные, \(\ z=z\left(x_ ; x_ ; \ldots ; x_{m}\right) \) - искомая функция нескольких переменных.

Например:\(\ \frac{\partial^

u}{\partial x^ }+\frac{\partial^ u}{\partial y^ }=0 \)

Линейные и нелинейные дифференциальные уравнения

Обычные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных делятся на линейные и нелинейные.

Дифференциальное уравнение называется линейным, если неизвестная функция и ее производные входят в уравнение только к первой степени и не размножаются друг с другом: \(\ g_{n}(x) y^{(n)}(x)+g_{n-1}(x) y^{(n-1)}(x)+\ldots+g_

(x) y^{\prime}(x)+g_ (x) y(x)=f(x) \)

Здесь \(\ g_{i}(x) \)- известные функции (коэффициенты уравнения); Функция \(\ f(x) \) является свободным элементом (или правой частью).

Важным подклассом линейных уравнений являются линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Другим подклассом линейных уравнений являются однородные дифференциальные уравнения - уравнения, правые части которых равны нулю \(\ (f(x)=0) \) .Все остальные линейные дифференциальные уравнения называются неоднородными дифференциальными уравнениями.