Виды интегралов

Неопределенные и определенные интегралы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Неопределенный интеграл представляет собой совокупность всех первообразных \(\ F(x)+C \) некоторой функции \(\ f(x) \) :

\(\ \int f(x) d x=F(x)+C \)

Например: \(\ \int x^{2} d x=\frac{x^{3}}{3}+C \)

Подробнее о неопределенных интегралах по ссылке.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Определенный интеграл функции \(\ f(x) \) на отрезке \(\ [a ; b] \) является пределом интегральных сумм, когда диаметр разбиения стремится к нулю, если он существует независимо от разбиения и выбора точек внутри элементарных отрезков:

\(\ \int_{a}^{b} f(x) d x=\lim _{\Delta x_{i} \rightarrow 0} \sum_{i=0}^{n} f\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i} \)

Например

\(\ \int_{0}^{1} x^{2} d x=\left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{0} ^{1}=\frac{1}{3} \cdot\left(1^{3}-0^{3}\right)=\frac{1}{3} \)

Собственные и неправильные интегралы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Собственный интеграл является определенным интегралом, для которого как подынтегральная функция, так и область интегрирования ограничены.

Например: \(\ \int_{2}^{3} \frac{d x}{x} \)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Неправильный интеграл является определенным интегралом, для которого либо подынтегральное выражение неограниченно, либо область интегрирования, либо и то, и другое.

Например: \(\ \int_{-2}^{3} \frac{d x}{x} \)

Пусть функция \(\ y=f(x) \) определена на полуоси \(\ [a ;+\infty) \) и интегрируема на любом отрезке \(\ [a ; b] \subset[a ;+\infty) \) . Предел интеграла\(\ \int_{a}^{b} f(x) d x \) с \(\ b \rightarrow+\infty \) называется несобственным интегралом первого вида функции \(\ y=f(x) \) от а до \(\ +\infty \) обозначается через \(\ \int_{a}^{+\infty} f(x) d x \) :

\(\ \int_{a}^{+\infty} f(x) d x=\lim _{b \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} f(x) d x \)

Например: \(\ \int_{2}^{+\infty} x d x \)

Сходящиеся и расходящиеся интегралы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Если предел \(\ \int_{a}^{+\infty} f(x) d x=\lim _{b \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} f(x) d x \) существует и конечен, то несобственный интеграл первого рода \(\ \int_{a}^{+\infty} f(x) d x \)называется сходящимся.

Например:\(\ \int_{2}^{+\infty} \frac{d x}{x^{2}} \)

В противном случае несобственный интеграл первого рода называется расходящимся.

Например: \(\ \int_{2}^{+\infty} x d x \)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Пусть функция \(\ y=f(x) \) определена на полуинтервале \(\ (a ; b] \) и интегрируема по любому отрезку \(\ [a+\varepsilon ; b], \varepsilon \in(0 ; b-a) \) . Пусть \(\ \lim _{x \rightarrow a+0} f(x)=\infty \) . Неправильным интегралом второго вида функции \(\ y=f(x) \) по отрезку \(\ [a ; b] \) является предел \(\ \lim _{\varepsilon \rightarrow 0+0} \int_{a+\varepsilon}^{b} f(x) d x \) :

\(\ \int_{a}^{b} f(x) d x=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0+0} \int_{a+\varepsilon}^{b} f(x) d x \)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Если предел \(\ \lim _{\varepsilon \rightarrow 0+0} \int_{a+\varepsilon}^{b} f(x) d x \) конечен, то несобственный интеграл первого рода называется сходящимся.

Например: \(\ \int_{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{x}} \)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл второго рода называется расходящимся.

Например: \(\ \int_{0}^{1} \frac{d x}{x} \)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Множественный или множественный интеграл представляет собой набор интегралов, взятых из \(\ n>1 \) переменных:

\(\ \underbrace{\int_{a_{1}}^{b_{1}} \ldots \int_{a_{n}}^{b_{n}}} f\left(x_{1} ; \ldots ; x_{n}\right) d x_{1} \ldots d x_{n} \)

Например: \(\ \int_{-3}^{1} \int_{0}^{4} \int_{5}^{6}(x+y+z) d x d y d z \)

Криволинейные и поверхностные интегралы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Криволинейный интеграл является интегралом, который вычисляется вдоль кривой в плоскости или в пространстве. Пусть задана кривая \(\ c \) и функция \(\ f(x ; y) \) непрерывна на этой кривой. Тогда криволинейный интеграл первого вида функции \(\ f(x ; y) \) вдоль кривой \(\ \mathrm{C} \) называется интегралом \(\ \int_{C} f(x ; y) d s \) .

Например. \(\ \int_{C}(x+y) d s \) где \(\ P(x ; y) \)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Если функции \(\ Q(x ; y) \) и \(\ \int_{C} P(x ; y) d x+Q(x ; y) d y \) определены на кривой \(\ \mathrm{C} \), то криволинейный интеграл второго рода называется интегралом вида \(\ \int_{C}(x+y) d x+(x-y) d y \) .

Например: \(\ f(x ; y ;) \)

Подробнее о криволинейных интегралах по ссылке.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Поверхностный интеграл первого вида функции \(\ \iint_{S} f(x ; y ; z) d S \) над некоторой поверхностью \(\ s \) называется интегралом \(\ \iint_{S}(x+y+z) d S \)

Например: \(\ \iint_{S}(x+y+z) d S \) , где \(\ \mathrm{S} \) - часть плоскости \(\ x+2 y+3 z=0 \), которая лежит в первом октанте.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Поверхностный интеграл второго рода на неподвижной стороне двухсторонней поверхности \(\ \mathrm{S} \) является интегралом вида \(\ \iint_{S} P(x ; y ; z) d y d z+Q(x ; y ; z) d x d z+R(x ; y ; z) d x d y \)

Например: \(\ \iint_{S} \frac{d y d z}{x}+\frac{d x d z}{y}+\frac{d x d y}{z} \) , где \(\ 5 \) - часть внутренней поверхности эллипсоида \(\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 \)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Для функции \(\ y=f(x) \) , непрерывной на отрезке \(\ [a ; b] \) , функция \(\ F(x)=\int_{a}^{x} f(t) d t \) называется интегралом с переменным верхним пределом.

Например: \(\ \int_{0}^{x} t d t \)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Интеграл \(\ I(\alpha)=\int_{a}^{b} f(x ; \alpha) d x \)называется интегралом, зависящим от параметра \(\ a \) .

Например: \(\ \int_{0}^{+\infty} x^{\alpha-1} e^{-x} d x \)