Высшая математика 1 курс
Несмотря на то, что зачастую этот предмет в вузах преподается разное количество времени (от 1 семестра для гуманитарных специальностей, и до 3 – для технических), список тем мало отличается. Чаще всего в дисциплине рассматриваются следующие разделы высшей математики: линейная и векторная алгебра, аналитическая геометрия, и линии второго порядка.
Линейная алгебра Матрицы
Изучаются матрицы размерностью n на m следующих видов: квадратные, диагональные, равные, единичные, трапецевидные, и треугольные.
Среди действий, которые возможно над ними выполнять рассматривают следующие:
- Сложение и вычитание матриц, сходных по размерности.
- Умножение их на число, вектор, и на другую матрицу.
Определитель
Изучают понятие определителя, его основные свойства, среди которых следующие:
- Для квадратных матриц А и В действует правило, что определитель произведения чисел А на В равняется определителю произведения В на А. И также равняется определителю А умноженному на определитель В. При этом произведение А на В не равняется произведению В на А.
- Определитель и его транспонируемая версия равны между собой.
- Если определитель содержит ряд из 0, или какие-либо 2 его ряда параллельны, то он равен нулю.
- Если матрица диагональная, то ее определитель есть числа, расположенные по диагонали, умноженные между собой. То же самое правило действует и для треугольных матриц.
- Если у чисел имеется общий множитель, то его можно вынести из определителя.
Изучаются основные правила теоремы Лапласа, связанной с разложением определителя.
Обратная матрица
Изучается понятие невырожденной матрицы. В связи с ним существует следующая схема, по которой вычисляется обратная матрица с положительным определителем:
- Элементы матрицы последовательно заменяются на соответствующие им алгебраические дополнения. В результате этого действия возникает союзная матрица.
- Происходит транспонирование.
- Элементы полученной матрицы нужно разделить на определитель матрицы.
Ранг матрицы
Понятие представляется как самое большое число линейно-зависимых строк матрицы и самый большой порядок, не равняющийся нулю, из миноров первоначальной матрицы.
Ранг матрицы имеет следующие два свойства:
- Он не подвержен изменению после транспонирования, после убирания нулевого ряда, и после совершения преобразований.
- Найти ранг можно по общему числу элементов на главной диагонали, отличающихся от нуля.
Метод Крамера
Используется для нахождения корней уравнений, в которых произведение А и Х равняется В. При этом важно, чтобы определитель А был отличным от нуля.
Если это условие совпадает, то можно воспользоваться следующим алгоритмом:
Находим ak, равное определителю Ак деленному на определитель А. Ак получают из А, подставив в него столбец свободного члена из В.
Метод Гаусса
Для его понятия изучают расширенную матрицу. А также несколько видов систем уравнений: совместные, определенные, равносильные, однородные.
Алгоритм для их решений таков:
- Первым делом находят ранги основной и расширенной.
- Если они отличаются друг от друга, то система является несовместной и на этом решение прекращают.
- Иначе сначала высчитывают базисный минор порядка, затем общее решение системы, и в итоге получают частные решения при подставлении произвольных значений в уравнения.
Векторная алгебра Векторы и операции над ними
Рассматривается основное определение вектора, его свойства, такие как длина и направления. Кроме этого изучают следующие различные векторы: противоположные, нулевые, коллинеарные и компланарные.
Существуют следующие действия над векторами:
- Суммирование;
- Скалярное, векторное и смешанное умножение на другой вектор, а также на другое число.
Аналитическая геометрия
Рассматривает определения плоскостей и трехмерного пространства.
Прямая на плоскости
Изучают несколько ее основных уравнений: нормальное уравнение, с угловым коэффициентом, через точку и направление, через 2 точки, в отрезках.
Плоскость и прямая в пространстве
Рассматривают уравнения, по которым плоскость задается в пространстве. Такие как: уравнения через точку перпендикулярно к вектору, через 3 точки, нормальное, и в отрезках.
При изучении прямой важно знать каноническое и по 2 точкам, общее, векторное, с направляющими коэффициентами.
Во всех трех случаях рассматривают формулы, по которым можно найти различные углы.
Взаимное расположение плоскостей и прямых
При рассмотрении данного вопроса изучают формулы углов, параллельность, перпендикулярность, принадлежность прямой к плоскости.
Линии второго порядка
В этом разделе рассматриваются определения и свойства нескольких фигур: эллипса, гиперболы и параболы.
В связи с эллипсом изучают его каноническое уравнение, а также определения эксцентриситета и директрис.
При рассмотрении гиперболы, изучают тоже самое, что и у эллипса. Но к этому добавляются понятия фокальных радиусов, а также уравнения асимптот.
При изучении параболы рассматривают, что представляет собой полуфокальный диаметр.
Чаще всего дисциплина высшей математики для первокурсников, заканчивается на изучении вышестоящей темы, но программа предмета может несущественно изменяться в зависимости от вуза.