Узнать цену работы
Статьи по теме

Высшая математика 1 курс

  1. Линейная алгебра Матрицы
  2. Метод Крамера
  3. Метод Гаусса
  4. Векторная алгебра Векторы и операции над ними

Несмотря на то, что зачастую этот предмет в вузах преподается разное количество времени (от 1 семестра для гуманитарных специальностей, и до 3 – для технических), список тем мало отличается. Чаще всего в дисциплине рассматриваются следующие разделы высшей математики: линейная и векторная алгебра, аналитическая геометрия, и линии второго порядка.

Линейная алгебра Матрицы

Изучаются матрицы размерностью n на m следующих видов: квадратные, диагональные, равные, единичные, трапецевидные, и треугольные.

Среди действий, которые возможно над ними выполнять рассматривают следующие:

  • Сложение и вычитание матриц, сходных по размерности.
  • Умножение их на число, вектор, и на другую матрицу.

Определитель

Изучают понятие определителя, его основные свойства, среди которых следующие:

  • Для квадратных матриц А и В действует правило, что определитель произведения чисел А на В равняется определителю произведения В на А. И также равняется определителю А умноженному на определитель В. При этом произведение А на В не равняется произведению В на А.
  • Определитель и его транспонируемая версия равны между собой.
  • Если определитель содержит ряд из 0, или какие-либо 2 его ряда параллельны, то он равен нулю.
  • Если матрица диагональная, то ее определитель есть числа, расположенные по диагонали, умноженные между собой. То же самое правило действует и для треугольных матриц.
  • Если у чисел имеется общий множитель, то его можно вынести из определителя.

Изучаются основные правила теоремы Лапласа, связанной с разложением определителя.

Обратная матрица

Изучается понятие невырожденной матрицы. В связи с ним существует следующая схема, по которой вычисляется обратная матрица с положительным определителем:

  • Элементы матрицы последовательно заменяются на соответствующие им алгебраические дополнения. В результате этого действия возникает союзная матрица.
  • Происходит транспонирование.
  • Элементы полученной матрицы нужно разделить на определитель матрицы.

Ранг матрицы

Понятие представляется как самое большое число линейно-зависимых строк матрицы и самый большой порядок, не равняющийся нулю, из миноров первоначальной матрицы.

Ранг матрицы имеет следующие два свойства:

  • Он не подвержен изменению после транспонирования, после убирания нулевого ряда, и после совершения преобразований.
  • Найти ранг можно по общему числу элементов на главной диагонали, отличающихся от нуля.

Метод Крамера

Используется для нахождения корней уравнений, в которых произведение А и Х равняется В. При этом важно, чтобы определитель А был отличным от нуля.

Если это условие совпадает, то можно воспользоваться следующим алгоритмом:

Находим ak, равное определителю Ак деленному на определитель А. Ак получают из А, подставив в него столбец свободного члена из В.

Метод Гаусса

Для его понятия изучают расширенную матрицу. А также несколько видов систем уравнений: совместные, определенные, равносильные, однородные.

Алгоритм для их решений таков:

  • Первым делом находят ранги основной и расширенной.
  • Если они отличаются друг от друга, то система является несовместной и на этом решение прекращают.
  • Иначе сначала высчитывают базисный минор порядка, затем общее решение системы, и в итоге получают частные решения при подставлении произвольных значений в уравнения.

Векторная алгебра Векторы и операции над ними

Рассматривается основное определение вектора, его свойства, такие как длина и направления. Кроме этого изучают следующие различные векторы: противоположные, нулевые, коллинеарные и компланарные.

Существуют следующие действия над векторами:

  • Суммирование;
  • Скалярное, векторное и смешанное умножение на другой вектор, а также на другое число.

Аналитическая геометрия

Рассматривает определения плоскостей и трехмерного пространства.

Прямая на плоскости

Изучают несколько ее основных уравнений: нормальное уравнение, с угловым коэффициентом, через точку и направление, через 2 точки, в отрезках.

Плоскость и прямая в пространстве

Рассматривают уравнения, по которым плоскость задается в пространстве. Такие как: уравнения через точку перпендикулярно к вектору, через 3 точки, нормальное, и в отрезках.

При изучении прямой важно знать каноническое и по 2 точкам, общее, векторное, с направляющими коэффициентами.

Во всех трех случаях рассматривают формулы, по которым можно найти различные углы.

Взаимное расположение плоскостей и прямых

При рассмотрении данного вопроса изучают формулы углов, параллельность, перпендикулярность, принадлежность прямой к плоскости.

Линии второго порядка

В этом разделе рассматриваются определения и свойства нескольких фигур: эллипса, гиперболы и параболы.

В связи с эллипсом изучают его каноническое уравнение, а также определения эксцентриситета и директрис.

При рассмотрении гиперболы, изучают тоже самое, что и у эллипса. Но к этому добавляются понятия фокальных радиусов, а также уравнения асимптот.

При изучении параболы рассматривают, что представляет собой полуфокальный диаметр.

Чаще всего дисциплина высшей математики для первокурсников, заканчивается на изучении вышестоящей темы, но программа предмета может несущественно изменяться в зависимости от вуза.

Узнать цену работы
Узнай цену
своей работы
Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
Закажи свою оригинальную работу
УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ