Узнать цену работы
Статьи по теме

Внесение под знак дифференциала

При сведении заданного интеграла к табличному часто используются следующие преобразования дифференциала как операция «подведения под знак дифференциала». При этом используется формула:

\(\ f^{\prime}(x) d x=d(f(x)) \)

Вообще говоря, внесение (подведение) под знак дифференциала и замена переменной (метод подстановки) – это один и тот же метод нахождения неопределенного интеграла; отличие состоит только в оформлении.

Суть метода

Итак, внесение под знак интеграла опирается на следующее правило интегрирования. Если в произведении функции, стоящей под знаком интеграла, и дифференциала можно увидеть произведение другой функции и дифференциала от нее, то применяем подведение под знак дифференциала, то есть если

\(\ \left\{\begin{array}{l}{\int f(\phi(x)) \cdot \phi^{\prime}(x) d x} \\ {u=\phi(x)}\end{array} \Rightarrow \int f(\phi(x)) \cdot \phi^{\prime}(x) d x=\int f(u) d u\right. \)

При внесении под знак дифференциала необходимо иметь в виду простейшие преобразования дифференциала:

\(\ d x=d(x+a), a=\mathrm{const} \), \(\ \sin x d x=-d(\cos x) \)

\(\ d x=\frac{1}{a} d(a x), a \neq 0- \), \(\ \frac{d x}{x}=d(\ln x) \)

\(\ x d x=\frac{1}{2} d\left(x^{2}\right) \), \(\ \frac{d x}{x^{2}}=-d\left(\frac{1}{x}\right) \)

\(\ x d x=\frac{1}{2} d\left(x^{2}+a\right), a= \), \(\ \frac{d x}{\cos ^{2} x}=d(\operatorname{tg} x) \)

\(\ \cos x d x=d(\sin x) \)

Очень часто метод внесения под знак дифференциала используют для нахождения интегралов вида

\(\ \int f(k x+b) d x=\frac{1}{k} \int f(k x+b) d(k x+b)=\frac{1}{k} F(k x+b)+C \)

Поэтому имеют место следующие формулы для неопределенных интегралов:

\(\ \int(k x+b)^{n} d x=\frac{1}{k} \cdot \frac{(k x+b)^{n+1}}{n+1}+C \), \(\ \int a^{k x+b} d x=\frac{1}{k} \cdot \frac{a^{k x+b}}{\ln a}+C \)

\(\ \int \frac{d x}{\sqrt{k x+b}}=\frac{1}{k} \cdot 2 \sqrt{k x+b}+C \), \(\ \int \sin (k x+b) d x=-\frac{1}{k} \cos (k x+b)+C \)

\(\ \int \frac{d x}{(k x+b)^{2}}=-\frac{1}{k} \cdot \frac{1}{k x+b}+C \), \(\ \int \cos (k x+b) d x=\frac{1}{k} \sin (k x+b)+C \)

\(\ \int \frac{d x}{k x+b}=-\frac{1}{k} \ln |k x+b|+C \), \(\ \int \frac{1}{\cos ^{2}(k x+b)} d x=\frac{1}{k} \operatorname{tg}(k x+b)+C \)

\(\ \int e^{k x+b} d x=\frac{1}{k} e^{k x+b}+C \), \(\ \int \frac{1}{\sin ^{2}(k x+b)} d x=-\frac{1}{k} \operatorname{ctg}(k x+b)+C \)

Примеры внесения под знак дифференциала

ПРИМЕР 1

  • Задание

    Найти интеграл

    \(\ \int \frac{d x}{x-4} \)

  • Решение

    Внесем выражение, стоящее в знаменателе, под знак дифференциала:

    \(\ \int \frac{d x}{x-4}=\int \frac{d(x-4)}{x-4}=\ln |x-4|+C \)

  • Ответ

    \(\ \int \frac{d x}{x-4}=\ln |x-4|+C \)

    ПРИМЕР 2

  • Задание

    Решить интеграл \(\ \int(2 x+3)^{17} d x \)

  • Решение

    Внесем основание степени под дифференциал:

    \(\ \int(2 x+3)^{17} d x=\int(2 x+3)^{17} \cdot \frac{1}{2} d(2 x+3)=\frac{1}{2} \int(2 x+3)^{17} d(2 x+3)= \)

    \(\ =\frac{1}{2} \cdot \frac{(2 x+3)^{18}}{18}+C=\frac{(2 x+3)^{18}}{36}+C \)

  • Ответ

    \(\ \int(2 x+3)^{17} d x=\frac{(2 x+3)^{18}}{36}+C \)

  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ