Узнать цену работы
Статьи по теме

Волновое уравнение

Природа волнового процесса

Волновой процесс может иметь самый разнообразный характер: светлое и звуковое поле распространяются в виде волн, колебания вероятности и механические движения объектов, таких как струна, имеют волновой характер. Электромагнитные волны используются в повседневной жизни (сотовая связь, радиотехника, микроволновые печи), в медицине (рентгеновские аппараты), в промышленности и науке (электромагнитные системы управления, лазеры и даже гамма-телескопы).

Волновой процесс отличается от колебательного тем, что переменное значение движется, «отрываясь» от его источника. Обычно во время движения волны переносится только энергия, но в некоторых случаях (выброс газа в вакуум, процессы горения) происходит массоперенос.

Дифференциальное уравнение волны

Трудно описать волны: для них не всегда можно выделить даже общие свойства. Движение волны описывается с использованием волнового дифференциального уравнения:

В этом уравнении u - величина, которая изменяется, v - скорость волны, x, y, z и t - пространственные и временные координаты.

Решение волнового уравнения

Решение этого уравнения может быть очень сложным. Поэтому на практике часто используют свое частное решение - уравнение плоской волны. Это волна с фронтом в виде бесконечной плоскости, движущейся перпендикулярно ее фронту.

Волновое уравнение

В природе плоских волн не существует, но эту модель удобно использовать для расчетов. И излучение лазерной или зеркальной антенны можно считать достаточно плотным с достаточной точностью.

Плоское волновое уравнение гармонично и выглядит так:

Здесь А - переменная, А0 - ее амплитуда, - начальная фаза колебаний. Волновое число k можно рассчитать, зная длину волны :

Циклическая частота, связанная с передней скоростью :

А скорость волнового фронта, в свою очередь, связана с частотой:

Чтобы математически описать распространение звука, работу антенны или лампы накаливания,

удобно использовать уравнение сферической волны:

Здесь r - радиус (симметричная координата), а - амплитуда сферической волны.

Примеры решения проблем

ПРИМЕР 1

  • Задача

    Плоская волна распространяется с периодом 1,2 с и скоростью 15 м / с. Амплитуда колебаний составляет 2 см. Когда 4 с прошло с начала колебаний, оказалось, что точка, расположенная на расстоянии 45 м от источника, смещена на некоторое значение А. Что такое A?

  • Решение.

    В уравнении плоской волны мы выражаем циклическую частоту за период (начальная фаза равна нулю):

    Необходимо указать волновое число в известных величинах:

    Тогда получим формулу:

    Мы вводим в уравнение численные значения:

  • Ответ

    ПРИМЕР 2

  • Задача

    Существует упругая однородная среда, в которой распространяются две волны: одна вдоль оси абсцисс, другая - по оси ординат. Их движение задается уравнениями , . Волны поперечны, направление колебаний одинаково. Как частицы среды движутся в плоскости XY?

  • Решение.

    Для волн принцип суперпозиции работает, поэтому уравнение полученного процесса представляет собой сумму двух сложенных уравнений:

    Отметим, что формула равна 0 (т. Е. Нет колебаний) в точках, где . Это точки , где n = 0,1,2 ...

    Выразите волновое число по длине волны: . Тогда получим уравнение прямых, вдоль которых частицы не колеблются:

    На рисунке эти линии показаны пунктирной линией.

    Пример волнового уравнения

    А если частицы движутся с максимальным отклонением:

    На рисунке эти точки показаны сплошными линиями.

  • Ответ

    Нет колебаний - баллы . Максимальные колебания - баллы

  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ