Возведение в степень комплексного числа

Возвести число в квадрат \(\ \ z=\sqrt

Модуль комплексного числа \(\ z=\sqrt

\(\ z^

Экспоненциальность в тригонометрической форме

Обычно комплексные числа обычно поднимаются до степени тригонометрической формы, для которой справедлива формула Моиварда: \(\ z^{k}=r^{k}(\cos k \varphi+i \sin k \varphi) \), \(\ \forall k \in N \)

Эта формула непосредственно вытекает из формулы Эйлера, связывающей тригонометрическую и экспоненциальную функции \(\ e^{i \varphi}=\cos \varphi+i \sin \varphi \) , поскольку

\(\ z^{k}=(r(\cos \varphi+i \sin \varphi))^{k}=r^{k}(\cos \varphi+i \sin \varphi)^{k}=r^{k} e^{i k \varphi}=r^{k}(\cos k \varphi+i \sin k \varphi) \)

Примеры решения проблем

ПРИМЕР 1

Возвести в квадрат число \(\ z=\sqrt

Применяя формулу Мойвра для квадрата числа и формулы, описанные выше, получаем:

\(\ z^

\(\ =2\left(\cos 2\left(-\frac{\pi}{4}\right)+i \sin 2\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)=2\left(\cos \left(-\frac{\pi}

\(\ z^

ПРИМЕР 2

Возвести в 10-й степень число \(\ z=1+i \).

Начнем с того, что мы выражаем комплексное число в тригонометрической форме.

Вещественной частью комплексного числа \(\ z=1+i \) является число \(\ x=\operatorname{Re} \), \(\ z=1 \); мнимая часть равна \(\ y=\operatorname{lm} \), \(\ z=1 \). Чтобы найти тригонометрическую форму написания комплексного числа, вам нужно найти его модуль и аргумент.

Модуль комплексного числа \(\ z \) является числом \(\ r=\sqrt{x^

\(\ \varphi=\arg z=\operatorname{arctg} \frac{y}{x}=\operatorname{arctg} \frac

Следовательно, тригонометрическая форма комплексного числа:

\(\ z=\sqrt

Применяя формулу Моиварда: для возведения в степень, получаем:

\(\ z^{10}=\left(\sqrt

\(\ =32\left(\cos \left(10 \cdot \frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(10 \cdot \frac{\pi}{4}\right)\right)=32\left(\cos \frac{5 \pi}

\(\ z^{10}=32\left(\cos \frac{\pi}