Возведение в степень комплексного числа
Наиболее удобно поднять до степенных комплексных чисел, записанных в экспоненциальной или тригонометрической форме.
Экспоненциальность в экспоненциальной форме
Для поднятия до степени комплексных чисел формула истинна в экспоненциальной форме:
\(\ z^{k}=\left(r e^{i \varphi}\right)^{k}=r^{k} e^{i k \varphi}, k \in Z \)
ПРИМЕР
Возвести число в квадрат \(\
\
z=\sqrt{2} e^{\frac{\pi}{4} i}
\)
Модуль комплексного числа \(\
z=\sqrt{2} e^{\frac{\pi}{4 i}}
\)равен \(\
\sqrt{2}
\) Поэтому квадрат числа равен:
\(\
z^{2}=\left(\sqrt{2} e^{\frac{\pi}{4} i}\right)^{2}=(\sqrt{2})^{2} e^{2 \frac{\pi}{4} i}=2 e^{\frac{\pi}{2} i}
\)
Экспоненциальность в тригонометрической форме
Обычно комплексные числа обычно поднимаются до степени тригонометрической формы, для которой справедлива формула Моиварда: \(\
z^{k}=r^{k}(\cos k \varphi+i \sin k \varphi)
\), \(\
\forall k \in N
\)
Эта формула непосредственно вытекает из формулы Эйлера, связывающей тригонометрическую и экспоненциальную функции \(\
e^{i \varphi}=\cos \varphi+i \sin \varphi
\) , поскольку
\(\
z^{k}=(r(\cos \varphi+i \sin \varphi))^{k}=r^{k}(\cos \varphi+i \sin \varphi)^{k}=r^{k} e^{i k \varphi}=r^{k}(\cos k \varphi+i \sin k \varphi)
\)
Примеры решения проблем
ПРИМЕР 1
Возвести в квадрат число \(\
z=\sqrt{2}\left(\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)
\)
Применяя формулу Мойвра для квадрата числа и формулы, описанные выше, получаем:
\(\
z^{2}=\left(\sqrt{2}\left(\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)\right)^{2}=(\sqrt{2})^{2}\left(\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)^{2}=
\)
\(\
=2\left(\cos 2\left(-\frac{\pi}{4}\right)+i \sin 2\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)=2\left(\cos \left(-\frac{\pi}{2}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)
\)
\(\
z^{2}=2\left(\cos \left(-\frac{\pi}{2}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)
\)
ПРИМЕР 2
Возвести в 10-й степень число \(\
z=1+i
\).
Начнем с того, что мы выражаем комплексное число в тригонометрической форме.
Вещественной частью комплексного числа \(\
z=1+i
\) является число \(\
x=\operatorname{Re}
\), \(\
z=1
\); мнимая часть равна \(\
y=\operatorname{lm}
\), \(\
z=1
\). Чтобы найти тригонометрическую форму написания комплексного числа, вам нужно найти его модуль и аргумент.
Модуль комплексного числа \(\
z
\) является числом \(\
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}
\) . Аргумент вычисляется по формуле:
\(\
\varphi=\arg z=\operatorname{arctg} \frac{y}{x}=\operatorname{arctg} \frac{1}{1}=\operatorname{arctg} 1=\frac{\pi}{4}
\)
Следовательно, тригонометрическая форма комплексного числа:
\(\
z=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right)
\)
Применяя формулу Моиварда: для возведения в степень, получаем:
\(\
z^{10}=\left(\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right)\right)^{10}=(\sqrt{2})^{10}\left(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right)^{10}=
\)
\(\
=32\left(\cos \left(10 \cdot \frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(10 \cdot \frac{\pi}{4}\right)\right)=32\left(\cos \frac{5 \pi}{2}+i \sin \frac{5 \pi}{2}\right)=32\left(\cos \frac{\pi}{2}+i \sin \frac{\pi}{2}\right)
\)
\(\
z^{10}=32\left(\cos \frac{\pi}{2}+i \sin \frac{\pi}{2}\right)
\)
