Узнать цену работы
Статьи по теме

Возведение в степень комплексного числа

Наиболее удобно поднять до степенных комплексных чисел, записанных в экспоненциальной или тригонометрической форме.

Экспоненциальность в экспоненциальной форме

Для поднятия до степени комплексных чисел формула истинна в экспоненциальной форме:

\(\ z^{k}=\left(r e^{i \varphi}\right)^{k}=r^{k} e^{i k \varphi}, k \in Z \)

ПРИМЕР

  • Задание

    Возвести число в квадрат \(\ \ z=\sqrt{2} e^{\frac{\pi}{4} i} \)

  • Решение.

    Модуль комплексного числа \(\ z=\sqrt{2} e^{\frac{\pi}{4 i}} \)равен \(\ \sqrt{2} \) Поэтому квадрат числа равен:

    \(\ z^{2}=\left(\sqrt{2} e^{\frac{\pi}{4} i}\right)^{2}=(\sqrt{2})^{2} e^{2 \frac{\pi}{4} i}=2 e^{\frac{\pi}{2} i} \)

  • Ответ: \(\ z^{2}=2 e^{\frac{\pi}{2} i} \)

    Экспоненциальность в тригонометрической форме

    Обычно комплексные числа обычно поднимаются до степени тригонометрической формы, для которой справедлива формула Моиварда: \(\ z^{k}=r^{k}(\cos k \varphi+i \sin k \varphi) \), \(\ \forall k \in N \)

    Эта формула непосредственно вытекает из формулы Эйлера, связывающей тригонометрическую и экспоненциальную функции \(\ e^{i \varphi}=\cos \varphi+i \sin \varphi \) , поскольку

    \(\ z^{k}=(r(\cos \varphi+i \sin \varphi))^{k}=r^{k}(\cos \varphi+i \sin \varphi)^{k}=r^{k} e^{i k \varphi}=r^{k}(\cos k \varphi+i \sin k \varphi) \)

    Примеры решения проблем

    ПРИМЕР 1

  • Задание

    Возвести в квадрат число \(\ z=\sqrt{2}\left(\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) \)

  • Решение.

    Применяя формулу Мойвра для квадрата числа и формулы, описанные выше, получаем:

    \(\ z^{2}=\left(\sqrt{2}\left(\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)\right)^{2}=(\sqrt{2})^{2}\left(\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)^{2}= \)

    \(\ =2\left(\cos 2\left(-\frac{\pi}{4}\right)+i \sin 2\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)=2\left(\cos \left(-\frac{\pi}{2}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) \)

  • Ответ

    \(\ z^{2}=2\left(\cos \left(-\frac{\pi}{2}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) \)

    ПРИМЕР 2

  • Задание

    Возвести в 10-й степень число \(\ z=1+i \).

  • Решение.

    Начнем с того, что мы выражаем комплексное число в тригонометрической форме.

    Вещественной частью комплексного числа \(\ z=1+i \) является число \(\ x=\operatorname{Re} \), \(\ z=1 \); мнимая часть равна \(\ y=\operatorname{lm} \), \(\ z=1 \). Чтобы найти тригонометрическую форму написания комплексного числа, вам нужно найти его модуль и аргумент.

    Модуль комплексного числа \(\ z \) является числом \(\ r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2} \) . Аргумент вычисляется по формуле:

    \(\ \varphi=\arg z=\operatorname{arctg} \frac{y}{x}=\operatorname{arctg} \frac{1}{1}=\operatorname{arctg} 1=\frac{\pi}{4} \)

    Следовательно, тригонометрическая форма комплексного числа:

    \(\ z=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right) \)

    Применяя формулу Моиварда: для возведения в степень, получаем:

    \(\ z^{10}=\left(\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right)\right)^{10}=(\sqrt{2})^{10}\left(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right)^{10}= \)

    \(\ =32\left(\cos \left(10 \cdot \frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(10 \cdot \frac{\pi}{4}\right)\right)=32\left(\cos \frac{5 \pi}{2}+i \sin \frac{5 \pi}{2}\right)=32\left(\cos \frac{\pi}{2}+i \sin \frac{\pi}{2}\right) \)

  • Ответ

    \(\ z^{10}=32\left(\cos \frac{\pi}{2}+i \sin \frac{\pi}{2}\right) \)

  • Узнать цену работы

    Узнай цену

    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ