Узнать цену работы
Статьи по теме

Второй замечательный предел

Формула второго замечательного предела

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Второй замечательный предел - предел.

\(\ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e \)

Число \(\ e \approx 2,718281828459045 \dots \)- число Эйлера, является основанием натурального логарифма.

Доказательство второго замечательного предела

Для доказательства нам понадобится биномиальный Ньютон:

\(\ (a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} a^{n-k} b^{k}=a^{n}+n a^{n-1} b+\frac{n(n-1)}{2} a^{n-2} b^{2}+\ldots+n a b^{n-1}+b^{n}, a, b \in R, n \in N \)

где \(\ C_{n}^{k}=\frac{n !}{k !(n-k) !}, n !=1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot(n-1) \cdot n \) является факториалом натурального числа \(\ \mathrm{n} \).

Рассмотрим последовательность \(\ \left\{y_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right\} \) и применим к ней биномиальную формулу Ньютона для \(\ a=1, \quad b=\frac{1}{n} \)

\(\ y_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} \cdot 1^{n-k} \cdot\left(\frac{1}{n}\right)^{k}=C_{n}^{0} \cdot 1^{n-0} \cdot\left(\frac{1}{n}\right)^{0}+C_{n}^{1} \cdot 1^{n-1} \cdot\left(\frac{1}{n}\right)^{1}+C_{n}^{2} \cdot 1^{n-2} \cdot\left(\frac{1}{n}\right)^{2}+ \)

\(\ +\ldots+C_{n}^{n} \cdot 1^{n-n} \cdot\left(\frac{1}{n}\right)^{n}=\frac{n !}{0 ! \cdot(n-0) !} \cdot 1 \cdot 1+\frac{n !}{1 ! \cdot(n-1) !} \cdot 1 \cdot \frac{1}{n}+\frac{n !}{2 ! \cdot(n-2) !} \cdot 1 \cdot \frac{1}{n^{2}}+ \)

\(\ +\frac{n !}{3 ! \cdot(n-3) !} \cdot 1 \cdot \frac{1}{n^{3}}+\ldots+\frac{n !}{(n-1) ! \cdot(n-(n-1)) !} \cdot 1 \cdot \frac{1}{n^{n-1}}+\frac{n !}{n ! \cdot(n-n) !} \cdot 1 \cdot \frac{1}{n^{n}} \)

Уменьшите в каждом члене числитель со вторым фактором в знаменателе первого множителя (за исключением первых двух членов). Результат:

\(\ y_{n}=1+\frac{n}{n}+\frac{(n-1) n}{1 \cdot 2 \cdot n^{2}}+\frac{(n-2)(n-1) n}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot n^{3}}+\ldots+\frac{(n-(n-2)) \ldots(n-2)(n-1) n}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot(n-1) \cdot n^{n-1}}+ \)

\(\ +\frac{(n-(n-1)) \ldots(n-2)(n-1) n}{1 \cdot 2 \cdot 3 \ldots \cdot n \cdot n^{n}}=2+\frac{1}{1 \cdot 2} \cdot \frac{n-1}{n}+\ldots+n \cdot 1 \cdot \frac{1}{n^{n-1}}+\frac{1}{n^{n}}=2+\frac{n-1}{n}+\ldots+\frac{1}{n^{n-2}}+\frac{1}{n^{n}} \)

\(\ =2+\frac{n-1}{1 \cdot 2 \cdot n}+\frac{(n-2)(n-1)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot n^{2}}+\ldots+\frac{(n-(n-2)) \ldots(n-2)(n-1)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot(n-1) \cdot n^{n-2}}+\frac{(n-(n-1)) \ldots(n-2)(n-1)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n \cdot n^{n-1}}= \)

\(\ =2+\frac{n-1}{n} \cdot \frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{n-2}{n} \cdot \frac{n-1}{n} \cdot \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\ldots+\frac{n-(n-2)}{n} \cdots \frac{n-2}{n} \cdot \frac{n-1}{n} \cdot \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot(n-1)}+ \)

\(\ +\frac{n-(n-1)}{n} \cdot \ldots \cdot \frac{n-2}{n} \cdot \frac{n-1}{n} \cdot \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n} \)

Оценим преобразованную последовательность \(\ y_{n} \) сверху. В каждом члене (кроме первого) фракции \(\ \frac{n-1}{n}, \frac{n-2}{n}, \ldots, \frac{n-(n-1)}{n} \) являются регулярными дробями (для натурального n числитель меньше знаменателя), и поэтому их значение меньше единицы. Замените каждую из этих фракций единицей, затем последняя сумма будет увеличиваться. т.е.

\(\ y_{n}=2+\frac{n-1}{n} \cdot \frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{n-2}{n} \cdot \frac{n-1}{n} \cdot \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\ldots+\frac{n-(n-2)}{n} \cdots \frac{n-2}{n} \cdot \frac{n-1}{n} \cdot \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot(n-1)}+ \)

\(\ +\frac{n-(n-1)}{n} \cdot \ldots \cdot \frac{n-2}{n} \cdot \frac{n-1}{n} \cdot \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n}< \)

\(\ <2+1 \cdot \frac{1}{1 \cdot 2}+1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\ldots+1 \ldots \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot(n-1)}+1 \ldots \cdot 1 \cdot \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n}= \)

\(\ =2+\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\ldots+\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot(n-1)}+\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n} \)

Затем мы заменяем все числа \(\ 3_{1} \ldots ., n \) в знаменателях остальных членов на 2, тем самым увеличивая количество (так как чем меньше знаменатель, тем больше доля):

\(\ y_{n}<2+\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\ldots+\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot(n-1)}+\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n}< \)

\(\ <2+\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 2}+\ldots+\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2}+\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2}=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\ldots+\frac{1}{2^{n-2}}+\frac{1}{2^{n-1}}< \)

\(\ <2+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\ldots+\frac{1}{2^{n-2}}+\frac{1}{2^{n-1}}+\ldots \)

С правой стороны получается сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

\(\ \frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\ldots+\frac{1}{2^{n-2}}+\frac{1}{2^{n-1}}+\ldots \)

\(\ S=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1 \)

следовательно

\(\ y_{n}<2+1=3 \)

Таким образом, последовательность \(\ \left\{y_{n}\right\} \) ограничена сверху номером 3.

Покажем теперь, что последовательность \(\ \left\{y_{n}\right\} \) . Перепишите последовательность следующим образом:

\(\ y_{n}=2+\frac{n-1}{n} \cdot \frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{n-2}{n} \cdot \frac{n-1}{n} \cdot \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\ldots+\frac{n-(n-2)}{n} \ldots \frac{n-2}{n} \cdot \frac{n-1}{n} \cdot \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot(n-1)}+ \)

\(\ +\frac{n-(n-1)}{n} \dots \cdot \frac{n-2}{n} \cdot \frac{n-1}{n} \cdot \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n}= \)

\(\ =2+\left(1-\frac{1}{n}\right) \cdot \frac{1}{1 \cdot 2}+\left(1-\frac{2}{n}\right)\left(1-\frac{1}{n}\right) \cdot \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\ldots+\left(1-\frac{n-2}{n}\right) \dots\left(1-\frac{2}{n}\right)\left(1-\frac{1}{n}\right) \cdot \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \ldots(n-1)}+ \)

\(\ +\left(1-\frac{n-1}{n}\right) \dots\left(1-\frac{2}{n}\right)\left(1-\frac{1}{n}\right) \cdot \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n} \)

Запишем теперь \(\ y_{n+1} \) , для этого в выражении для \(\ y_{n} \) заменим \(\ \mathrm{n} \) на \(\ n+1 \):

\(\ y_{n+1}=2+\left(1-\frac{1}{n+1}\right) \cdot \frac{1}{1 \cdot 2}+\left(1-\frac{2}{n+1}\right)\left(1-\frac{1}{n+1}\right) \cdot \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+ \)

\(\ +\ldots+\left(1-\frac{n-1}{n+1}\right) \dots\left(1-\frac{2}{n+1}\right)\left(1-\frac{1}{n+1}\right) \cdot \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n}+ \)

\(\ +\left(1-\frac{n}{n+1}\right) \dots\left(1-\frac{2}{n+1}\right)\left(1-\frac{1}{n+1}\right) \cdot \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot(n+1)} \)

Каждое из выражений в круглых скобках увеличилось (с уменьшением франшизы), и, следовательно, все члены, содержащие такие скобки, увеличились. Количество терминов также увеличится на единицу: будет добавлен положительный срок

\(\ \left(1-\frac{n}{n+1}\right) \dots\left(1-\frac{2}{n+1}\right)\left(1-\frac{1}{n+1}\right) \cdot \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot(n+1)} \)

Поэтому, по мере роста числа п, члены последовательности \(\ \left\{y_{n}\right\} \) строго возрастают: \(\ y_{n+1}>y_{n}, \forall n \in N \) .

Тогда, согласно теореме, любая возрастающая ограниченная выше последовательность имеет предел

\(\ e=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \)

и число \(\ e \leq 3 \) (здесь 3 - это число, которое ограничивает последовательность \(\ \left\{y_{n}\right\} \) ).

Что и требовалось доказать

Докажем теперь, что для вещественного x выполняется второй замечательный предел, т. Е. Доказывается следующая теорема.

  • Теорема

    \(\ \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e, x \in R \) Доказательства.

    Рассмотрим два случая:

    1. Пусть \(\ x \rightarrow+\infty \) . Каждое значение x находится между двумя положительными целыми числами.

    \(\ n=[x] \leq x<[x]+1=n+1 \)

    где \(\ n=[x] \) - целая часть \(\ x \), т. е. наибольшее целое число, не превосходящее \(\ x \). затем

    \(\ \frac{1}{n+1}<\frac{1}{x} \leq \frac{1}{n} \Leftrightarrow 1+\frac{1}{n+1}<1+\frac{1}{x} \leq 1+\frac{1}{n} \)

    А потом

    \(\ \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n}<\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x} \leq\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} \)

    Если \(\ x \rightarrow+\infty \) , то \(\ n \rightarrow \infty \) . Поэтому, согласно тому, что предел \(\ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e \) , имеем:

    \(\ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n}=\frac{\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)}=\frac{e}{1+0}=e \)

    \(\ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \cdot \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)=e \cdot(1+0)=e \)

    Тогда по теореме о пределе промежуточной функции получаем, что

    \(\ \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e \)

    2. Пусть \(\ x \rightarrow-\infty \) . Сделаем замену

    \(\ x=-t \Rightarrow t \rightarrow+\infty \) , то

    \(\ \lim _{x \rightarrow-\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=\lim _{t \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{-t}\right)^{-t}=\lim _{t \rightarrow+\infty}\left(1-\frac{1}{t}\right)^{-t}=\lim _{t \rightarrow+\infty}\left(\frac{t-1}{t}\right)^{-t}=\lim _{t \rightarrow+\infty}\left(\frac{t}{t-1}\right)^{t}= \)

    \(\ =\lim _{t \rightarrow+\infty}\left(\frac{t-1+1}{t-1}\right)^{t}=\lim _{t \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{t-1}\right)^{t}=\lim _{t \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{t-1}\right)^{t-1} \cdot \lim _{t \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{t-1}\right)=e \cdot(1+0)=e \)

    Из этих двух мы заключаем, что

    \(\ \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e, \forall x \in R \)

    Теорема доказана.

    Последствия второго замечательного предела

    1. \(\ \lim _{x \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e \)

    \(\ \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{k}{x}\right)^{x}=e^{k} \)

    \(\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)}{x}=1 \)

    \(\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-1}{x}=1 \)

    \(\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^{x}-1}{x \ln a}=1, a>0, a \neq 1 \)

    \(\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{m}-1}{m x}=1 \)

    Примеры решения проблем

    ПРИМЕР 1

  • Задача

    Найти предел

    \(\ \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{k}{x}\right)^{x} \)

  • Решение. Мы выясним тип неопределенности: базис степени стремится к единице: \(\ 1+\frac{k}{x} \underset{x \rightarrow \infty}{\longrightarrow} 1 \) , степень \(\ x \rightarrow \infty \), т. е. Мы имеем неопределенность типа \(\ \left[1^{\infty}\right] \) :

    \(\ \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{k}{x}\right)^{x}\left[1^{\infty}\right]\left\|\begin{array}{c}{\frac{k}{x}=t \|} \\ {t \rightarrow 0}\end{array}\right\|=\lim _{t \rightarrow 0}(1+t)^{\frac{1}{l}}=\left(\lim _{t \rightarrow 0}(1+t)^{t}\right)^{k}=e^{k} \)

  • Ответ: \(\ \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{k}{x}\right)^{x}=e^{k} \)

    Аналогично найдены пределы функций вида \(\ u(x)^{v(x)} \) (при условии, что существует неопределенность типов \(\ \left[1^{\infty^{\infty}}\right] \)

    Комментарий. Не любые пределы значений формы \(\ u(x)^{v(x)} \) вычисляются путем уменьшения до второго замечательного предела. Это нужно делать только в случае неопределенности типа \(\ \left[1^{\infty}\right] \) . В других ситуациях можно сделать более простые рассуждения для расчета предела, а также принять во внимание тот факт, что

    \(\ \lim _{n \rightarrow \infty} q^{n}=\left\{\begin{aligned} 0, &|q|<1 \\ \infty, &|q|>1 \\\left[1^{\infty}\right],|q|=& 1 \end{aligned}\right. \)

    ПРИМЕР 2

  • Задача

    Найти предел

    \(\ \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x+1}{2 x+1}\right)^{x} \)

  • Решение.

    Давайте выясним тип неопределенности (если таковой имеется). Базовая степень

    \(\ \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x+1}{2 x+1}\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x\left(1+\frac{1}{x}\right)}{x\left(2+\frac{1}{x}\right)}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1+\frac{1}{x}}{2+\frac{1}{x}}=\frac{1+0}{2+0}=\frac{1}{2}<1 \)

    и показатель \(\ x \rightarrow \infty \) . То есть

    \(\ \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x+1}{2 x+1}\right)^{x}\left[\left(\frac{1}{2}\right)^{\infty}\right]=0 \)

  • Ответ

    \(\ \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x+1}{2 x+1}\right)^{x}=0 \)

  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ