Производная функции определения и понятия

Пусть задана функция \(\ y=f(x) \). Рассмотрим два значения \(\ \mathcal{x}_{0} \)(исходное) и \(\ \mathcal{x} \) (новое) из области определения функции.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Разность \(\ x-x_{0} \) называется приращением аргумента в точке \(\ x_{0} \) и обозначается \(\ \Delta x \) («дельта икс»):

\(\ \Delta x=x-x_{0} \)

Замечание. Символ \(\ \Delta x \) рассматривается как единый, а не представляет собой произведение, то есть \(\ \Delta x \neq \Delta \cdot x \).

ПРИМЕР

Задание

Найти приращение аргумента \(\ \Delta x \) в точке \(\ \mathcal{X}_{0} \), если x \(\ x_{0}=2 \), а \(\ x=1,9 \)

Решение

Воспользуемся определением приращения, тогда будем иметь:

\(\ \Delta x=x-x_{0}=1,9-2=-0,1 \)

Ответ \(\ \Delta x=-0,1 \)

Значение рассматриваемой функции в точке \(\ \mathcal{X} \mathrm{O} \) равно \(\ f\left(x_{0}\right) \). Зададим аргументу \(\ \mathcal{R} \) приращение \(\ \Delta x \). Получим значение функции в новой точке \(\ f(x+\Delta x) \).

Приращение функции в точке

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Приращением функции \(\ y=f(x) \) в точке \(\ \mathcal{L}_{0} \), соответствующее приращению аргумента \(\ \Delta x=x-x_{0} \), называется величина

\(\ \Delta y=f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right) \)

ПРИМЕР

Задание Дана функция \(\ y=x^{2} \). Найти приращение функции при переходе от точки \(\ x_{0}=3 \)к точке \(\ x_{0}+\Delta x=4 \)

Решение Согласно определению имеем, что

\(\ \Delta y=f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right) \) Находим значения функции в точках \(\ x_{0}=3 \) и \(\ x_{0}+\Delta x=4 \):

\(\ y\left(x_{0}\right)=y(3)=3^{2}=9 \)

\(\ y\left(x_{0}+\Delta x\right)=y(4)=4^{2}=16 \) Тогда искомое приращение

\(\ \Delta y=y\left(x_{0}+\Delta x\right)-y\left(x_{0}\right)=16-9=7 \)

Ответ \(\ \Delta y=7 \)

Определение производной

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Производной \(\ y^{\prime}\left(x_{0}\right) \) от функции \(\ y=f(x) \) называется предел отношения \(\ \frac{\Delta y}{\Delta x} \) приращения функции к приращению аргумента, при условии, что последний стремиться к нулю: \(\ \Delta x \rightarrow 0 \). То есть:

\(\ y^{\prime}\left(x_{0}\right)=f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x} \)

ПРИМЕР

Задание Найти производную функции \(\ y(x)=\sqrt{x} \) в точке \(\ x_{0}=1 \) , пользуясь определением производной.

Решение По определению искомая производная равна:

\(\ y^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{y\left(x_{0}+\Delta x\right)-y\left(x_{0}\right)}{\Delta x} \) \] Или, подставляя заданное значение точки \(\ \mathcal{X}_{0} \) , будем иметь:

\(\ y^{\prime}(1)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{y(1+\Delta x)-y(1)}{\Delta x} \) Найдем значение функции в указанных точках:

\(\ y(1+\Delta x)=\sqrt{1+\Delta x} \)

\(\ y(1)=\sqrt{1}=1 \) Подставляем полученные значения в выражение для производной:

\(\ y^{\prime}(1)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{y(1+\Delta x)-y(1)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\Delta x}-1}{\Delta x} \) Записанный предел имеет неопределенность типа \(\ \left[\frac{0}{0}\right] \), которую раскроем домножением числителя и знаменателя дроби, стоящей под знаком предела на сопряженное выражение \(\ \sqrt{1+\Delta x}+1 \) к числителю. Будем иметь:

\(\ y^{\prime}(1)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(\sqrt{1+\Delta x}-1) \cdot(\sqrt{1+\Delta x})+1}{\Delta x \cdot(\sqrt{1+\Delta x+1})} \) Применяя в числителе формулу «разность квадратов», получим:

\(\ \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta x \cdot(\sqrt{1+\Delta x}+1)}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{1+\Delta x}+1}=\frac{1}{\sqrt{1+0}+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2} \)

Ответ \(\ y^{\prime}(1)=\frac{1}{2} \) Функция \(\ y=f(x) \) имеет производную на интервале \(\ (a ; b) \), если производная \(\ f^{\prime}(x) \) существует в каждой точке этого интервала.

Левая и правая производные функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Правой производной \(\ y_{+}^{\prime} \) функции \(\ y=f(x) \) в данной точке \(\ x \) называется величина

\(\ y_{+}^{\prime}=f^{\prime}\left(x_{0}+0\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0+} \frac{\Delta y}{\Delta x} \) а левой производной – величина

\(\ y_{-}^{\prime}=f^{\prime}\left(x_{0}-0\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0-} \frac{\Delta y}{\Delta x} \) если эти пределы существуют.

ПРИМЕР

Задание Найти левую и правую производные \(\ f_{-}^{\prime}(0) \), \(\ f_{+}^{\prime}(0) \) функции \(\ f(x)=|x| \) в точке \(\ x_{0}=0 \)

Решение Левая производная равна

\(\ f_{-}^{\prime}(0)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0-} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0-} \frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0-} \frac{|\Delta x|-0}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0-} \frac{|\Delta x|}{\Delta x} \) Так как \(\ \Delta x \rightarrow 0- \), то \(\ \Delta x \) является маленькой отрицательной величиной, а тогда по определению модуля \(\ |\Delta x|=-\Delta x \). Отсюда

\(\ f_{-}^{\prime}(0)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0-} \frac{|\Delta x|}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0-} \frac{-|\Delta x|}{\Delta x}=-1 \)

Аналогично, правая производная \(\ f_{+}^{\prime}(0)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0+} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0+} \frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0+} \frac{|\Delta x|-0}{\Delta x}= \lim _{\Delta x \rightarrow 0+} \frac{|\Delta x|}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0+} \frac{\Delta x}{\Delta x}=1 \)

Ответ \(\ f_{-}^{\prime}(0)=-1, f_{+}^{\prime}(0)=1 \)

Основные теоремы производных

ТЕОРЕМА

Для того чтобы в точке \(\ x \) существовала производная \(\ f^{\prime}(x) \), необходимо и достаточно, чтобы в этой точке функция \(\ y=f(x) \) имела правую и левую производные, и эти производные были равны между собой:

\(\ y^{\prime}(x)=y_{+}^{\prime}(x)=y_{-}^{\prime}(x) \)

Функция \(\ y=f(x) \) имеет в точке \(\ x \) бесконечную производную, если в этой точке

\(\ f^{\prime}(x)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\infty \)

ТЕОРЕМА

(О непрерывности функции в точке.) Если функция \(\ y=f(x) \) имеет конечную производную в точке \(\ x_{0} \) , то она непрерывна в этой точке. Замечание. Обратное заключение не всегда верно: если функция \(\ y=f(x) \) непрерывна в некоторой точке \(\ \mathcal{I O} \) , то она может и не иметь производной в этой точке.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Функция \(\ y=f(x) \) называется дифференцируемой в точке \(\ \mathcal{R}_{r} \), если приращение функции, соответствующее приращению аргумента, можно представить в виде:

\(\ \Delta y=A \cdot \Delta x+\alpha(\Delta x) \cdot \Delta x \)

где A – число, не зависящее от \(\ \Delta x \),\(\ \alpha(\Delta x) \), – бесконечно малая функция при \(\ \Delta x \rightarrow 0 \), то есть

\(\ \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \alpha(\Delta x)=0 \)

ТЕОРЕМА (О необходимом и достаточном условии дифференцируемости.) Для того чтобы функция \(\ y=f(x) \) была дифференцируемой в точке \(\ \Omega \), необходимо и достаточно, чтобы \(\ y=f(x) \) имела в точке конечную производную.

Теорема устанавливает, что для функции \(\ y=f(x) \) дифференцируемость в данной точке \(\ \mathcal{X} \) и существование конечной производной в этой точке – понятия равносильные. Поэтому операцию нахождения производной называют также дифференцированием этой функции.