Взаимно обратные функции

1. Характеристика взаимно обратных функций
2. Как найти обратную функцию?

Допустим, что множества X и Y являются частью множества действительных чисел. В таком случае требуется введение такого термина как обратимая функция.

Определение

Отображающую множество X во множестве Y функцию \(\ f : X \rightarrow Y \) называют обратимой, если для каких-либо элементов \(\ x_{1}, x_{2} \in X \) из того что \(\ x_{1} \neq x_{2} \), а отсюда в свою очередь следует то, что \(\ f\left(x_{1}\right) \neq f\left(x_{2}\right) \)

С учетом этого вводится термин обратная функция.

Определение

Предположим, что отображающая множество X во множестве Y функция \(\ f : X \rightarrow Y \) является обратимой. Вследствие этого функция \(\ f^{-1} : Y \rightarrow X \), которая отображает множество Y во множество X, а также определяемая условием \(\ f^{-1}(y)=x \), именуется обратной для \(\ f(x) \)

Теорема

Допусти функция \(\ y=f(x) \) является определенной, монотонно возрастающей (убывающей) и непрерывной в том или ином промежутке X. Следовательно, в промежутке значений Y этой функции у нее имеется обратная функция, которая монотонно убывает или возрастает, а также является непрерывной (промежуток Y).

Теперь стоит ввести такой термин как взаимно обратные функции.

Определение

В рамках второго определения, функции \(\ f(x) n f^{-1}(y) \) именуют взаимно обратные.

Характеристика взаимно обратных функций

Предположим, что функции \(\ y=f(x)_\quad{и}\quad x=g(y) \)являются взаимно обратными, а значит:

\(\ y=f(g(y)) n x=g(f(x)) \)

Область определения функции \(\ y=f(x) \)соответствуют области значения \(\ x=g(y) \), в то время как область определения последней соответствует области значения первой.

Графики обратной функции \(\ y=f(x)_\quad{и} \quad x=g(y) \)по отношению к прямой y=x являются симметричными

Если наблюдается возрастание или убывание одной из этих функций, вторая будет аналогично возрастать, либо убывать.

Как найти обратную функцию?

Относительно переменной х нужно решить уравнение \(\ y=f(x) \)

Из найденных корней нужно получить корни, принадлежащие промежутку Х.

Полученные х необходимо поставить соответственно значению y.

Пример

Найдите функцию обратную данной \(\ y=x^{2} \) на промежутке \(\ X=[-1,0] \)

Поскольку функция является убывающей и непрерывной (промежуток Х), тогда на промежутке Y будет равен [0,1], причем согласно первой теореме, он тоже является непрерывной и убывающей на данном промежутке.

Вычисление х:

\(\ y=x^{2} \)

\(\ x=\pm \sqrt{y} \)

Подбираем необходимые значения:

\(\ x=-\sqrt{y} \)

Ответ: обратная функция \(\ y=-\sqrt{x} \)

Пример

Найти обратную функцию для \(\ y=x+4 \)

Поскольку функция является возрастающей и непрерывной на всей области, тогда согласно первой теореме, то здесь имеют место быть возрастающая и непрерывная функции.

Отыщем х из уравнения \(\ y=x+4 \)

\(\ y=x+4 \)

\(\ x=y-4 \)

Ищем необходимые значения х. Поскольку в области определения все числа, то в нашем случае значение подходит.

Переопределив переменные, получим такой вид обратной функции

\(\ x=y-4 \)

Пример

Отыскать функцию обратного типа для \(\ y=x^{3} \). Нахождение аналогично второму примеру.

Отыщем х из уравнения \(\ y=x^{3} \)

\(\ y=x^{3} \)

\(\ x=\sqrt[3]{y} \)

Ищем необходимые значения х. Поскольку в области определения все числа, то в нашем случае значение подходит.

Переопределив переменные, получим следующий вид обратной функции

\(\ y=\sqrt[3]{x} \)

Пример

Отыскать обратную функцию для \(\ y=\cos x \)на промежутке \(\ [0, \pi] \)

Рассмотрим функцию \(\ y=\cos x \) на множестве \(\ X=[0, \pi] \). Она непрерывна и убывает на множестве X и отображает множество \(\ X=[0, \pi] \)на множество \(\ X=[0, \pi] \) потому согласно первой теореме у функции \(\ y=\cos x \)в множестве Y имеется непрерывная обратная функция, возрастающая на \(\ Y=[-1 ; 1] \) и отображающая множество [-1;1] на множество \(\ [0, \pi] \).

Найдем х из \(\ y=\cos x \):

\(\ y=\cos x \)

\(\ x=\pm \arccos y+2 \pi n, n \in Z \)

Ищем подходящие значения

\(\ x=\arccos y \)

Переопределяя переменные, получаем:

\( y = \arccos x \)

Пример

На промежутке \(\ \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \) функции \(\ y=\operatorname{tg} x \)отыскать обратную функцию.

Функция \(\ y=\operatorname{tg} x \)на множестве \(\ X=\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \) является непрерывной и возрастающей (множество Х) и указывает на множество \(\ X=\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \), а она соответственно на множество Y=R. Отсюда, согласно первой теореме, функция \(\ y=\operatorname{tg} x \)обладает обратной непрерывной функцией (множество Y) возрастающей на Y=R и отображающей множество R на множество \(\ \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \)

Ищем х из \(\ y=\operatorname{tg} x : \):

\(\ y=\operatorname{tg} x \)

\(\ x=\operatorname{arctg} y+\pi n, n \in Z \)

Ищем подходящие значения

\(\ x=\operatorname{arctg} y \)

Переопределяя переменные, получаем:

\(\ y=\operatorname{arctg} x \)