Узнать цену работы
Статьи по теме

Замечательные пределы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Замечательные ограничения - термин, используемый в отечественных математических учебниках для обозначения определенных пределов известным решением, используемым для упрощения решения более сложных ограничений.

Первый замечательный предел:

\(\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1 \)

Последствия:

\(\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin k x}{n x}=\frac{k}{n} \)

\(\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{tg} x}{x}=1 \)

\(\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\arcsin x}{x}=1 \)

\(\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{arctg} x}{x}=1 \)

Узнайте больше о первом замечательном лимите в отдельной теме.

Примеры решений с первым замечательным пределом.

ПРИМЕР

  • Задача

    Найти предел

    \(\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2 x}{5 x} \)

  • Решение

    Сначала выясните тип неопределенности (если таковой имеется). Для этого подставим предельное значение 0 в выражение под знаком предела:

    \(\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2 x}{5 x}\left[\frac{\sin (2 \cdot 0)}{5 \cdot 0}=\frac

    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right] \)

    Таким образом, мы имеем неопределенность формы \(\ \left[\frac

    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right] \) . Выражение под знаком предела выглядит как первый замечательный предел, но аргумент синуса и знаменатель немного отличаются. Поэтому мы доводим долю до указанного замечательного предела. Для этого, поскольку аргумент sine равен 2x, тогда в знаменателе мы выбираем тот же самый коэффициент:

    \(\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2 x}{5 x}\left[\frac

    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right]=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2 x}{5 \cdot \frac{2 x}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2 x}{\frac{5}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \cdot 2 x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin 2 x}{5 \cdot 2 x} \)

    Свойства пределов константы можно вывести из знака предела, а затем

    \(\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2 x}{5 x}=\frac

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    {5 x \rightarrow 0} \frac{\sin 2 x}{2 x}=\frac
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    {5} \cdot 1=\frac
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    {5} \)

  • Ответ

    \(\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2 x}{5 x}=\frac

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    {5} \)

    Второй прекрасный предел

    \(\ \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {x}\right)^{x}=e \)

    здесь \(\ e \approx 1,2718281828 \) есть постоянная Эйлера

    Последствия:

    \(\ \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{k}{x}\right)^{x}=e^{k} \)

    \(\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)}{x}=1 \)

    \(\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-1}{x}=1 \)

    \(\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^{x}-1}{x}=\ln a \)

    \(\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{m}-1}{x}=m \)

    Узнайте больше о втором замечательном лимите в отдельной теме.

    Примеры решений со вторым замечательным пределом.

    ПРИМЕР

  • Задача

    Найти предел

    \(\ \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+1}{x+3}\right)^{2 x+1} \)

  • Решение.

    Давайте выясним тип неопределенности (если таковой имеется). Основание степени имеет предел

    \(\ \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x+1}{x+3}\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x\left(1+\frac

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {x}\right)}{x\left(1+\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {x}\right)}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1+\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {x}}{1+\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {x}}=\frac{1+0}{1+0}=1 \)

    градус

    \(\ \lim _{x \rightarrow \infty}(2 x+1)=2 \cdot \infty+1=\infty \)

    Таким образом, мы имеем неопределенность типа \(\ \left[1^{\infty}\right] \)

    Дадим данный предел второму замечательному:

    \(\ \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+1}{x+3}\right)^{2 x+1}\left[1^{\infty}\right]=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{x+1}{x+3}-1\right)^{2 x+1}=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{x+1-x-3}{x+3}\right)^{2 x+1}= \)

    \(\ =\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{-2}{x+3}\right)^{2 x+1}=\lim _{x \rightarrow \infty}=\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\underbrace{\left(1+\frac{-2}{x+3}\right)^{\frac{x+3}{-2}}}_{\rightarrow e}\right]^{\frac{-2}{x+3} \cdot(2 x+1)} =\lim _{x \rightarrow \infty} e^{\frac{-4 x-2}{x+3}}= \)

    \(\ =\lim _{e^{x} \rightarrow \infty} \frac{-4 x-2}{x+3}\left[\frac{\infty}{\infty}\right] =e^{\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x\left(-4-\frac

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    {x}\right)}{x\left(1+\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {x}\right)}} =e^{\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{-4-\frac
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    {x}}{1+\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {z}}}=e^{\frac{-4-0}{1+0}}=e^{-4}=\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {e^{4}} \)

  • Ответ

    \(\ \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+1}{x+3}\right)^{2 x+1}=\frac

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {e^{4}} \)
  • Узнать цену работы

    Узнай цену

    своей работы