Узнать цену работы
Статьи по теме

Таблицы истинности

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Логическая функция - это функция, в которой значения переменных и значение функции выражают логическую истину.

Они могут быть либо истинными, либо ложными (1 или 0). Для функции, содержащей две переменные, существует только четыре набора переменных значений:

\(\ (1,1),(1,0),(0,1),(0,0) \)

Значения логических функций определяются с помощью таблицы истинности.

Таблицы истинности для основных двоичных логических функций

1. Конъюнкция (логическое умножение) представляет собой сложное логическое выражение, которое истинно, только если оба простых выражения истинны.

Обозначение:\(\ A \wedge B \)

\(\ \begin{array}{|c|c|c|} \hline A&B&A \wedge B\\ \hline 1&1&1\\ \hline 1&0&0\\ \hline 0&1&0\\ \hline 0&0&0\\ \hline \end{array} \)

2. Дизъюнкция (логическое добавление) представляет собой сложное логическое выражение, которое истинно, если хотя бы одно из простых логических выражений является истинным и ложным, если оба простых логических выражения являются ложными.

Обозначение: \(\ A \vee B \)

\(\ \begin{array}{|c|c|c|} \hline А&В&A \vee B\\ \hline 1&1&1\\ \hline 1&0&1\\ \hline 0&1&1\\ \hline 0&0&0\\ \hline \end{array} \)

3. Импликация (логическое следствие) представляет собой сложное логическое выражение, которое является ложным тогда и только тогда, когда условие истинно и следствие является ложным.

Обозначение:\(\ A \rightarrow B \)

\(\ \begin{array}{|c|c|c|} \hline А&В&A \rightarrow B\\ \hline 1&1&1\\ \hline 1&0&0\\ \hline 0&1&1\\ \hline 0&0&1\\ \hline \end{array} \)

4. Эквивалентность - это сложное логическое утверждение, которое верно только для тех же значений истинности простых выражений, включенных в него.

Обозначение:\(\ A \leftrightarrow B \)

\(\ \begin{array}{|c|c|c|} \hline A&B&A \leftrightarrow B\\ \hline 1&1&1\\ \hline 1&0&0\\ \hline 0&1&0\\ \hline 0&0&1\\ \hline \end{array} \)

5. Логическое отрицание (инверсия) делает истинное утверждение ложным и, наоборот, ложное утверждение истинно.

Обозначение:\(\ \neg A(A) \)

\(\ \begin{array}{|c|c|} \hline A&\neg A\\ \hline 1&0\\ \hline 0&1\\ \hline \end{array} \)

6. Ход Шаффера - это операция, которая отрицает конъюнкцию, т. е. Значение ложно тогда и только тогда, когда оба простых выражения истинны.

Обозначение:\(\ A | B \)

\(\ \begin{array}{|c|c|c|} \hline A&B&A | B\\ \hline 1&1&0\\ \hline 1&0&1\\ \hline 0&1&1\\ \hline 0&0&1\\ \hline \end{array} \)

7. Стрелка Пирса - это операция, которая отрицает соединение, т. е. Значение истинно тогда и только тогда, когда оба простых выражения являются ложными.

Обозначение: \(\ A \downarrow B \)

\(\ \begin{array}{|c|c|c|} \hline А&В&A \downarrow B\\ \hline 1&1&0\\ \hline 1&0&0\\ \hline 0&1&0\\ \hline 0&0&1\\ \hline \end{array} \)

Процедура выполнения логических операций

При построении таблицы истинности необходимо учитывать порядок логических операций:

1. Инверсия

2. Конъюнкция

3. Дизъюнкция

4. Последствия

5. Эквивалентность

6. Шеффирский удар

7. Стрелка Пирс

Для двух последних операций приоритет не определен.

Комментарий. Если вам необходимо изменить указанный порядок логических операций, используются скобки.

Примеры решения проблем

ПРИМЕР 1

Задача Создать таблицу истинности для функции \(\ ((A \rightarrow B) \wedge A) \leftrightarrow \overline{B} \)

Решение. Давайте сделаем таблицу истинности для данной функции, которая содержит две переменные \(\ A \) и \(\ В \). В первых двух столбцах таблицы мы пишем четыре возможные пары значений этих переменных, в последующих столбцах - значения промежуточные функции и в последнем столбце - значение функций. В результате мы получаем таблицу:

\(\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline A&B&A \rightarrow B&(A \rightarrow B) \wedge A&\overline{B}&((A \rightarrow B) \wedge A) \leftrightarrow \overline{B}\\ \hline 1&1&1&1&0&0\\ \hline 1&0&0&0&1&0\\ \hline 0&1&1&0&0&1\\ \hline 0&0&1&0&1&0\\ \hline \end{array} \)

ПРИМЕР 2

  • Задача Чтобы создать таблицу истинности для функции

    \(\ (A \wedge B \leftrightarrow B \wedge C) \vee(C \rightarrow A) \)

  • Решение.

    Давайте создадим таблицу истинности для данной функции, которая содержит три переменные \(\ A \), \(\ B \) и \(\ C \). Множества возможных переменных будут 8, и мы напишем их в первых трех столбцах таблицы, в последующих столбцах значения Промежуточных функций, а в последнем столбце - значения функций.

    Промежуточные функции:

    I - \(\ A \wedge B \)

    II - \(\ B \wedge C \)

    III - \(\ (A \wedge B \leftrightarrow B \wedge C) \)

    IV - \(\ C \)

    V - \(\ C \rightarrow A \)

    VI - \(\ (A \wedge B \leftrightarrow B \wedge C) \vee(C \rightarrow A) \)

  • В результате мы получаем таблицу:

    \(\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline A&B&C&I&II&III&\mathrm{IV}&\mathrm{V}&\mathrm{VI}\\ \hline 1&1&1&1&1&1&0&1&1\\ \hline 1&1&0&1&0&0&1&1&1\\ \hline 1&0&1&0&0&1&0&1&1\\ \hline 1&0&0&0&0&1&1&1&1\\ \hline 0&1&1&0&1&0&0&1&1\\ \hline 0&1&0&0&0&1&1&0&1\\ \hline 0&0&1&0&0&1&0&1&1\\ \hline 0&0&0&0&0&1&1&0&1\\ \hline \end{array} \)

  • Узнать цену работы

    Узнай цену

    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ