Уравнения электромагнитной волны
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Электромагнитные волны представляют собой переменное электромагнитное поле, распространяющееся в пространстве.
Электромагнитные волны являются поперечными: векторы
Электромагнитные волновые уравнения
Связь между векторами где Таким образом, система уравнений (1) является уравнениями электромагнитной волны в непроводящей среде.
В случае однородной, изотропной, непроводящей среды, не обладающей ферромагнитными или сегнетоэлектрическими свойствами, уравнение электромагнитной волны будет иметь вид:
где Векторы где Каждая из проекций векторов где Определение и уравнение плоской электромагнитной волны
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Электромагнитная волна называется плоскостью, если векторы Для плоской электромагнитной волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси Ox правой системы координат, уравнения электромагнитной волны записываются следующим образом:
где Определение и уравнение монохроматической электромагнитной волны
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Электромагнитная волна называется монохроматической, если компоненты вектора электромагнитного поля Силы электрического и магнитного полей плоской монохроматической волны часто представлены в виде:
где Очевидно, что комплексные функции эквивалентны (8)
Здесь k - волновой вектор, а его модуль равен значению Электрическое и магнитное поля плоской волны перпендикулярны друг другу.
Примеры решения проблем
ПРИМЕР 1
Найти средний вектор Пойнтинга для плоской электромагнитной волны Решение По определению вектор Пойнтинга:
Запишем средний вектор Пойнтинга, так как Для плоской электромагнитной волны Запишем уравнение полосой электромагнитной волны:
Дифференцируем (1.3) на x:
Дифференцируя (1.4) с t, получаем:
Подставим (1.7) и (1.8) в (1.5), получим:
Подставим (1.10) в (1.1), то в (1.2) получим:
Поскольку волна распространяется в вакууме, мы пишем:
Средний вектор вектора Посвящения для плоской электромагнитной волны:
Плоская электромагнитная волна из первой среды падает на границу под определенным углом 1) Определите, как изменяется частота электромагнитной волны во время отражения и преломления.
2) Докажите, что лучи, падающие, отраженные и преломленные, лежат в одной плоскости.
3) Найти законы отражения и преломления электромагнитной волны.
4) Определить формулу для связи амплитудных значений векторов поля Рис.1
Используя уравнение для интенсивности электромагнитной волны из системы уравнений (9), запишем векторы интенсивности падающего Необходимо найти связь между амплитудами, частотами колебаний Проанализируем равенство (2.4) с учетом (2.1), (2.2), (2.3) в следующем порядке:
1) Исправьте некоторую точку на интерфейсе, выберите одну временную зависимость в равенстве (2.4), написанную в проекции на некоторую ось:
Это равенство должно выполняться тождественно для всех значений t, что возможно только в том случае, если: 2) Разделив равенство (2.4) на общий коэффициент времени, получим выражение вида:
Равенство (2.6) должно выполняться для всех точек интерфейса, что возможно только при условии:
Пусть 3) Плоскость векторов Используя формулу, связывающую волновой вектор с частотой Отсюда мы получаем законы отражения (2.10) и преломления (2.11):
4) Пусть волна падает перпендикулярно поверхности раздела (рис. 2), причем вектор рис. 2
Используя уравнения для плоской электромагнитной волны, запишем:
Эти формулы определяют поле падающей волны. Для отраженной волны, распространяющейся в обратном направлении имеем:
Преломленная волна запишется в виде:
Исходя из непрерывности тангенциальной составляющей вектора Решая систему находим:
2) Доказано, что волновые векторы 3) Получены законы
4) Формулы (2.12) есть формулы связи амплитудных значений векторов поля при отражении и преломлении электромагнитных волн (при нормальном падении).
и
сильных электрических и магнитных полей волны взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости и лежат в плоскости, перпендикулярной вектору
волны скорость распространения. Векторы
и
образуют правую систему.
и
в электромагнитной волне, распространяющейся в непроводящей среде, определяется уравнениями Максвелла, в которых
(плотность заряда) и
(вектор плотности тока) считаются равными нулю:
- напряженность электрического поля,
- вектор магнитной индукции,
- вектор магнитной интенсивности,
- вектор электрического смещения.
- электрические и магнитные постоянные,
- относительная электрическая и магнитная проницаемость среды.
и
поля электромагнитной волны могут быть выражены через скалярные
и векторные
потенциалы. Тогда уравнения электромагнитной волны будут выглядеть так:
- оператор Лапласа,
на ось прямоугольной декартовой системы координат и
удовлетворяет волновому уравнению (4):
- фазовая скорость электромагнитной волны,
.В вакууме
. Для всех сред, кроме ферромагнитных,
и
и
зависят только от времени и одной декартовой координаты.
- единичный вектор, проведенный в направлении распространения волны. Мы видим, что плоскую электромагнитную волну можно полностью определить, используя только векторный потенциал
. В вакууме:
и
создают гармонические колебания одной и той же частоты, называемые частотой волн. Произвольная немонохроматическая волна может быть представлена как набор монохроматических волн.
- волновое число.
, если волна распространяется в вакууме.
положим:
ПРИМЕР 2
, частично проникает во вторую среду и отражается от границы раздела между двумя средами. Граф
.
(для отражения и преломления электромагнитных волн (для нормального падения).
, отраженного
и преломленного
волн:
и волновыми векторами падающей
, отраженной
и преломленной (92) волн. Мы используем непрерывность тангенциальной составляющей поля на границе раздела между двумя средами:
(2.6). Мы получаем: частота при отражении и преломлении не изменяется.
то
и
, откуда следует, что векторы
лежат в одной плоскости.
совпадает с плоскостью Oxz (рис.1). Выберите начало вектора
на оси Ox. Из формулы (2.7) следует:
, получим:
является показателем преломления.
направлен по оси Ox. (Тогда вектор
направлен по оси Oy.)
и тангенциальной составляющей вектора
на плоскости z=0 к уравнениям:
лежат в одной плоскости, следовательно, лучи падающий отраженный и преломленный лежат в одной плоскости.
(отражения).
(преломления)