Четность и нечетность функции
Определения и свойства четных и нечетных функций
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Функция
\(\
f(x)
\) называется четной функцией, если для любого x из области определения выполняется равенство \(\
f(-x)=f(x)
\)
Функция \(\
f(x)
\) называется нечетной функцией, если для любого x из области определения выполняется равенство \(\
f(-x)=-f(x)
\)
Если ни одно из условий \(\
f(-x)=f(x)
\) или \(\
f(-x)=-f(x)
\) не выполняется, то говорят, что функция \(\
f(x)
\) не является ни четной, ни нечетной (или функцией общего вида)
График четной функции симметричен относительно оси ординат, график нечетной функции симметричен относительно начала координат.
При исследовании функции на четность и нечетность можно использовать следующие свойства:
1.Сумма двух четных функций четна, а сумма двух нечетных функций нечетна.
2.Произведение двух четных функций является четной функцией, равно как и произведение двух нечетных функций. Произведение четной и нечетной функции — нечетная функция.
3.Если функция \(\
f(x)
\) четная (нечетная), то и функция \(\
\frac{1}{f(x)}
\) четная (нечетная).
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
Используя определение исследовать на четность и нечетность следующие функции
\(\
f_{1}(x)=2 x^{4}-3 x^{2}+6 ; 2 ) f_{2}(x)=8 x^{3}-7 x ; 3 ) f_{3}(x)=x^{4}-4 x+5
\)
1) Рассмотрим значение функции \(\
f_{1}(x)=2 x^{4}-3 x^{2}+6
\) в точке \(\
(-x)
\) :
\(\
f_{1}(x)=2 x^{4}-3 x^{2}+6
\)
Для заданной функции выполняется условие \(\
f_{1}(-x)=f_{1}(x)
\) ,следовательно, она четная.
2) Найдем значение функции \(\
f_{2}(x)=8 x^{3}-7 x
\) в точке \(\
(-x)
\) :
\(\
f_{2}(-x)=8 \cdot(-x)^{3}-7 \cdot(-x)=-8 x^{3}+7 x=-\left(8 x^{3}-7 x\right)=-f_{2}(x)
\)
Для этой функции выполняется условие \(\
f_{2}(-x)=-f_{2}(x)
\),следовательно, она является нечетной.
3) Найдем значение функции \(\
f_{3}(x)=x^{4}-4 x+5
\) в точке \(\
(-x)
\) :
\(\
f_{3}(-x)=(-x)^{4}-4 \cdot(-x)+5=x^{4}+4 x+5
\)
Таким образом, \(\
f_{3}(-x) \neq f_{3}(x) ; f_{3}(-x) \neq-f_{3}(x)
\) , значит, функция \(\
f_{3}(x)=x^{4}-4 x+5
\) не является ни четной, ни нечетной.
1) \(\
f_{1}(x)=2 x^{4}-3 x^{2}+6
\) — четная;
2) \(\
f_{2}(x)=8 x^{3}-7 x
\) — нечетная;
3) \(\
f_{3}(x)=x^{4}-4 x+5
\) — ни четная, ни нечетная.
ПРИМЕР 2
Исследовать функцию \(\
f(x)=\frac{x^{2}+4}{3 x^{6}+x^{4}+7}
\) на четность, используя свойства четных и нечетных функций.
Исследуем отдельно четность функции, которые находятся в числителе и знаменателе:
\(\
g(-x)=(-x)^{2}+4=x^{2}+4=g(x)
\)
то есть функция \(\
g(x)
\) четная; аналогично
\(\
h(-x)=3(-x)^{6}+(-x)^{4}+7=3 x^{6}+x^{4}+7=h(x)
\)
а тогда и функция \(\
h(x)
\) четная.
По свойству 3, так как \(\
h(x)
\) — четная, то четной будет и функция \(\
\frac{1}{h(x)}=\frac{1}{3 x^{6}+x^{4}+7}
\) .Тогда исходную функцию \(\
f(x)
\) можно представить в виде произведения четных функций \(\
f(x)=g(x) \cdot \frac{1}{h(x)}
\) , следовательно, по свойству 2, \(\
f(x)
\) — четная.
Исследованная функция четная.