Узнать цену работы
Статьи по теме

Область определения функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Областью определения или области функции \(\ y=f(x) \) является множество значений x, для которых имеются значения \(\ y=f(x) \).

Обозначает область определения функции - \(\ D(f) \) или \(\ D(y) \)

Поиск области действия функции

Схема поиска области определения функций:

Если \(\ f(x) \) является многочленом, то область определения функции \(\ y=f(x) \) будет множеством всех вещественных чисел.

Если \(\ f(x) \)- рациональная дробь, то область есть множество всех вещественных чисел, кроме тех значений E, для которых знаменатель равен нулю.

Если функция имеет вид \(\ y=\sqrt{f(x)} \),то областью определения является множество решений неравенства \(\ f(x) \geq 0 \)

Если функция имеет вид \(\ y=\frac{g(x)}{\sqrt{f(x)}} \) , где \(\ g(x) \) - некоторый многочлен, то область определения есть множество решений неравенства \(\ f(x)>0 \) .

Область определения суммы, разности или произведения двух или более функций - это пересечение областей определений этих функций, для которой скомпилирована система соответствующих условий и затем решена.

Для логарифмической функции \(\ y=\log _{a} x, a>0, \quad a \neq 1 \) областью определения является интервал \(\ (0 ;+\infty) \) .

Примеры решения проблем

ПРИМЕР 1

  • Задача

    Найдите область следующих функций:

    \(\ y_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +2-\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {x-5} ; 2 ) y_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =\sqrt{x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -3 x+2} ; 3 ) y_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =\frac{2 x-7}{\sqrt{3 x+21}} \)

  • Решение

    1) Функция \(\ y_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +2-\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {x-5} \) может быть представлена как разность двух функций

    \(\ f_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    (x)=x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +2 ; f_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    (x)=\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {x-5} \)

    \(\ f_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    (x) \) является многочленом и его область есть множество всех вещественных чисел R.

    Функция \(\ f_

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    (x) \) дробно-рациональна. Найдите значения x, которые нуль знаменателя

    \(\ x-5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5 \)

    Таким образом, область определения функции \(\ y_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \) находится из системы

    \(\ \left\{\begin{array}{l}{x \in R,} \\ {x \neq 5}\end{array} \Rightarrow\right. D\left(y_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \right) : x \in(-\infty, 5) \cup(5,+\infty) \)

    2) Чтобы найти область определения \(\ y_

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =\sqrt{x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -3 x+2} \) ,мы решим неравенство

    \(\ x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -3 x+2 \geq 0 \)

    Разложим левую часть этого неравенства. Для этого мы решаем уравнение \(\ x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -3 x+2=0 \) По теореме Вета: \(\ x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +x_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =3 ; x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \cdot x_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =2 \),поэтому \(\ x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =1, x_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =2 \) .Таким образом, неравенство примет вид

    \(\ (x-1)(x-2) \geq 0 \)

    Обозначим найденные корни на числовой оси и определим знак неравенства на полученных интервалах.

    Таким образом, \(\ D\left(y_

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right) : x \in(-\infty, 1] \cup[2,+\infty) \)

    3) Функция \(\ y_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =\frac{2 x-7}{\sqrt{3 x+21}} \) является дробной рациональной функцией, числитель которой является многочленом. Областью многочлена является множество вещественных чисел R. В знаменателе корень, его область находится из системы

    \(\ \left\{\begin{array}{l}{3 x+21 \geq 0,} \\ {3 x+21 \neq 0,}\end{array} \Rightarrow 3 x+21>0 \Rightarrow 3 x>-21 \Rightarrow x>-7\right. \)

    Таким образом, \(\ D\left(y_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \right) : x \in(-7,+\infty) \)

  • Ответ

    \(\ D\left(y_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \right) : x \in(-\infty, 5) \cup(5,+\infty) \)

    \(\ D\left(y_

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right) : x \in(-\infty, 1] \cup[2,+\infty) \)

    \(\ D\left(y_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \right) : x \in(-7,+\infty) \)

    ПРИМЕР 2

  • Задача

    Найдите область следующих функций:

    \(\ y_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =\sqrt{3^{2 x-5}-1} ; 2 ) y_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =\sqrt{-\log _
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    x+1} ; 3 ) y_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =\log _{x}(x-0,5) \)

  • Решение

    1) Чтобы найти область определения функции \(\ y_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =\sqrt{3^{2 x-5}-1} \) ,мы решим неравенство

    \(\ 3^{2 x-5}-1>0 \Rightarrow 3^{2 x-5}>1 \Rightarrow 3^{2 x-5}>3^

    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \)

    Поскольку основание степени \(\ 3>1 \), мы приходим к неравенству

    \(\ 2 x-5>0 \Rightarrow 2 x>5 \Rightarrow x>2,5 \)

    Таким образом, \(\ D\left(y_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \right) : x \in(2,5 ;+\infty) \)

    2) Чтобы найти область определения функции \(\ y_

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =\sqrt{-\log _
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    x+1} \) ,необходимо учитывать, что радиус должен быть неотрицательным, а сублогарифмическая функция должна быть положительной. Существует система неравенств

    \(\ \left\{\begin{array}{l}{-\log _

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    x+1 \geq 0} \\ {x>0}\end{array}\right. \)

    Мы решаем первое неравенство отдельно

    \(\ -\log _

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    x+1 \geq 0 \Rightarrow \log _
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    x \leq 1 \)

    Согласно определению логарифма мы приходим к неравенству

    \(\ x \leq 2 \)

    Таким образом, искомая область определения \(\ D\left(y_

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right) : x \in(0,2] \).

    3) Учитывая определение логарифмической функции, область определения \(\ y_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =\log _{x}(x-0,5) \).найти из системы

    \(\ \left\{\begin{array}{l}{x>0} \\ {x \neq 1,} \\ {x-0,5>0}\end{array} \Rightarrow\right. \left\{\begin{array}{l}{x>0} \\ {x \neq 1,} \\ {x>0,5}\end{array} \Rightarrow\right. \left\{\begin{array}{l}{x \neq 1} \\ {x>0,5}\end{array} \Rightarrow\right. (0,5 ; 1) \cup(1 ;+\infty) \)

    В результате получаем, что \(\ D\left(y_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \right) : x \in(0,5 ; 1) \cup(1 ;+\infty) \)

  • Ответ

    \(\ D\left(y_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \right) : x \in(2,5 ;+\infty) \)

    \(\ D\left(y_

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right) : x \in(0,2] \)

    \(\ D\left(y_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \right) : x \in(0,5 ; 1) \cup(1 ;+\infty) \)
  • Узнать цену работы

    Узнай цену

    своей работы