Область определения функции
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Областью определения или области функции
\(\
y=f(x)
\) является множество значений x, для которых имеются значения \(\
y=f(x)
\).
Обозначает область определения функции - \(\
D(f)
\) или \(\
D(y)
\)
Поиск области действия функции
Схема поиска области определения функций:
Если \(\
f(x)
\) является многочленом, то область определения функции \(\
y=f(x)
\) будет множеством всех вещественных чисел.
Если \(\
f(x)
\)- рациональная дробь, то область есть множество всех вещественных чисел, кроме тех значений E, для которых знаменатель равен нулю.
Если функция имеет вид \(\
y=\sqrt{f(x)}
\),то областью определения является множество решений неравенства \(\
f(x) \geq 0
\)
Если функция имеет вид \(\
y=\frac{g(x)}{\sqrt{f(x)}}
\) , где \(\
g(x)
\) - некоторый многочлен, то область определения есть множество решений неравенства \(\
f(x)>0
\) .
Область определения суммы, разности или произведения двух или более функций - это пересечение областей определений этих функций, для которой скомпилирована система соответствующих условий и затем решена.
Для логарифмической функции \(\
y=\log _{a} x, a>0, \quad a \neq 1
\) областью определения является интервал \(\
(0 ;+\infty)
\) .
Примеры решения проблем
ПРИМЕР 1
Найдите область следующих функций:
\(\
y_{1}=x^{2}+2-\frac{3}{x-5} ; 2 ) y_{2}=\sqrt{x^{2}-3 x+2} ; 3 ) y_{3}=\frac{2 x-7}{\sqrt{3 x+21}}
\)
1) Функция \(\
y_{1}=x^{2}+2-\frac{3}{x-5}
\) может быть представлена как разность двух функций
\(\
f_{1}(x)=x^{2}+2 ; f_{2}(x)=\frac{3}{x-5}
\)
\(\
f_{1}(x)
\) является многочленом и его область есть множество всех вещественных чисел R.
Функция \(\
f_{2}(x)
\) дробно-рациональна. Найдите значения x, которые нуль знаменателя
\(\
x-5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5
\)
Таким образом, область определения функции \(\
y_{1}
\) находится из системы
\(\
\left\{\begin{array}{l}{x \in R,} \\ {x \neq 5}\end{array} \Rightarrow\right. D\left(y_{1}\right) : x \in(-\infty, 5) \cup(5,+\infty)
\)
2) Чтобы найти область определения \(\
y_{2}=\sqrt{x^{2}-3 x+2}
\) ,мы решим неравенство
\(\
x^{2}-3 x+2 \geq 0
\)
Разложим левую часть этого неравенства. Для этого мы решаем уравнение \(\
x^{2}-3 x+2=0
\) По теореме Вета: \(\
x_{1}+x_{2}=3 ; x_{1} \cdot x_{2}=2
\),поэтому \(\
x_{1}=1, x_{2}=2
\) .Таким образом, неравенство примет вид
\(\
(x-1)(x-2) \geq 0
\)
Обозначим найденные корни на числовой оси и определим знак неравенства на полученных интервалах.
Таким образом, \(\
D\left(y_{2}\right) : x \in(-\infty, 1] \cup[2,+\infty)
\)
3) Функция \(\
y_{3}=\frac{2 x-7}{\sqrt{3 x+21}}
\) является дробной рациональной функцией, числитель которой является многочленом. Областью многочлена является множество вещественных чисел R. В знаменателе корень, его область находится из системы
\(\
\left\{\begin{array}{l}{3 x+21 \geq 0,} \\ {3 x+21 \neq 0,}\end{array} \Rightarrow 3 x+21>0 \Rightarrow 3 x>-21 \Rightarrow x>-7\right.
\)
Таким образом, \(\
D\left(y_{3}\right) : x \in(-7,+\infty)
\)
\(\
D\left(y_{1}\right) : x \in(-\infty, 5) \cup(5,+\infty)
\)
\(\
D\left(y_{2}\right) : x \in(-\infty, 1] \cup[2,+\infty)
\)
\(\
D\left(y_{3}\right) : x \in(-7,+\infty)
\)
ПРИМЕР 2
Найдите область следующих функций:
\(\
y_{1}=\sqrt{3^{2 x-5}-1} ; 2 ) y_{2}=\sqrt{-\log _{2} x+1} ; 3 ) y_{3}=\log _{x}(x-0,5)
\)
1) Чтобы найти область определения функции \(\
y_{1}=\sqrt{3^{2 x-5}-1}
\) ,мы решим неравенство
\(\
3^{2 x-5}-1>0 \Rightarrow 3^{2 x-5}>1 \Rightarrow 3^{2 x-5}>3^{0}
\)
Поскольку основание степени \(\
3>1
\), мы приходим к неравенству
\(\
2 x-5>0 \Rightarrow 2 x>5 \Rightarrow x>2,5
\)
Таким образом, \(\
D\left(y_{1}\right) : x \in(2,5 ;+\infty)
\)
2) Чтобы найти область определения функции \(\
y_{2}=\sqrt{-\log _{2} x+1}
\) ,необходимо учитывать, что радиус должен быть неотрицательным, а сублогарифмическая функция должна быть положительной. Существует система неравенств
\(\
\left\{\begin{array}{l}{-\log _{2} x+1 \geq 0} \\ {x>0}\end{array}\right.
\)
Мы решаем первое неравенство отдельно
\(\
-\log _{2} x+1 \geq 0 \Rightarrow \log _{2} x \leq 1
\)
Согласно определению логарифма мы приходим к неравенству
\(\
x \leq 2
\)
Таким образом, искомая область определения \(\
D\left(y_{2}\right) : x \in(0,2]
\).
3) Учитывая определение логарифмической функции, область определения \(\
y_{3}=\log _{x}(x-0,5)
\).найти из системы
\(\
\left\{\begin{array}{l}{x>0} \\ {x \neq 1,} \\ {x-0,5>0}\end{array} \Rightarrow\right. \left\{\begin{array}{l}{x>0} \\ {x \neq 1,} \\ {x>0,5}\end{array} \Rightarrow\right. \left\{\begin{array}{l}{x \neq 1} \\ {x>0,5}\end{array} \Rightarrow\right. (0,5 ; 1) \cup(1 ;+\infty)
\)
В результате получаем, что \(\
D\left(y_{3}\right) : x \in(0,5 ; 1) \cup(1 ;+\infty)
\)
\(\
D\left(y_{1}\right) : x \in(2,5 ;+\infty)
\)
\(\
D\left(y_{2}\right) : x \in(0,2]
\)
\(\
D\left(y_{3}\right) : x \in(0,5 ; 1) \cup(1 ;+\infty)
\)