Формулы степеней и их свойства
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Число \(\
c
\) называется \(\
\mathrm{n-й}
\) степенью a, если
\(\
c=\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n}, n \in N
\)
Обозначим через \(\
c=a^{n}
\). Ниже описываются основные формулы и свойства степеней с примерами.
Любое ненулевое число в нулевой степени равно единице:
\(\
a^{0}=1
\)
При умножении степеней с одинаковой базой их индексы складываются:
\(\
a^{x} \cdot a^{y}=a^{x+y}
\)
При делении степеней на одну и ту же основу их показатели вычитаются:
\(\
a^{x} : a^{y}=a^{x-y}
\)
Когда степень повышается до степени, их показатели умножаются:
\(\
\left(a^{x}\right)^{y}=a^{x \cdot y}
\)
Степень произведения двух факторов равна произведению степеней этих факторов:
\(\
(a b)^{x}=a^{x} b^{x}
\)
Заметим, что число факторов может быть больше двух, то аналогично, степень произведения нескольких факторов равна произведению степеней этих факторов:
\(\
(a b c . . .)^{x}=a^{x} b^{x} c^{x} \cdots
\)
Степень отношения (доля) равна отношению степеней дивиденда (числителя) и делителя (знаменателя):
\(\
\left(\frac{a}{b}\right)^{x}=\frac{a^{x}}{b^{x}}, b \neq 0
\)
Степень числа с отрицательным индикатором равна единице, деленная на степень того же числа с индикатором противоположного знака:
\(\
a^{-x}=\frac{1}{a^{x}}, a \neq 0
\)
ПРИМЕР 1
Упростить выражение
\(\
\frac{10^{x} \cdot 2^{-x}}{5^{x}}
\)
Используя свойства градусов, мы упростим данное выражение:
\(\
\frac{10^{x} \cdot 2^{-x}}{5^{x}}=\frac{10^{x}}{5^{x} \cdot 2^{x}}=\frac{10^{x}}{(5 \cdot 2)^{x}}=\frac{10^{x}}{10^{x}}=1
\)
\(\
\frac{10^{x} \cdot 2^{-x}}{5^{x}}=1
\)
ПРИМЕР 2
Упростить
\(\
b^{0}+b^{2} \cdot b^{3}
\)
Согласно свойствам степеней, мы имеем:
\(\
b^{0}+b^{2} \cdot b^{3}=1+b^{2+3}=1+b^{5}
\)
\(\
b^{0}+b^{2} \cdot b^{3}=1+b^{5}
\)