Узнать цену работы
Статьи по теме

Интеграл от арксинуса

Интеграл от арксинуса равен сумме произведения переменной интегрирования на этот арксинус и корню квадратному из разности единицы и переменной интегрирования в квадрате плюс константа интегрирования

\(\ \int \arcsin x d x=x \arcsin x+\sqrt{1-x^{2}}+C \)

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

  • Задание

    Доказать, что \(\ \int \arcsin x d x=x \arcsin x+\sqrt{1-x^{2}}+C \)

  • Решение

    Для доказательства применим формулу интегрирования по частям:

    \(\ \int \arcsin x d x\|u=\underset{d x}{\arcsin x}, d v=d x\|=x \arcsin x-\int \frac{x d x}{\sqrt{1-x^{2}}}\left\|\begin{array}{l}{1-x^{2}=t^{2}} \\ {-2 x d x=2 t d t} \\ {x d x=-t d t}\end{array}\right\|= \)

    \(\ =x \arcsin x-\int \frac{-t d t}{\sqrt{t^{2}}}=x \arcsin x+\int d t=x \arcsin x+t+C=x \arcsin x+\sqrt{1-x^{2}}+C \)

  • Что и требовалось доказать.

    ПРИМЕР 2

  • Задание

    Найти интеграл \(\ \int \arcsin 4 x d x \)

  • Решение

    Сведем данный интеграл к формуле, предварительно сделав в нем замену переменной:

    \(\ \int \arcsin 4 x d x\left\|\begin{array}{l}{4 x=t} \\ {4 d x=d t} \\ {d x=\frac{d t}{4}}\end{array}\right\|=\int \arcsin t \cdot \frac{d t}{4}=\frac{1}{4} \int \arcsin t d t= \)

    \(\ =\frac{1}{4}\left(t \arcsin t+\sqrt{1-t^{2}}\right)+C=\frac{1}{4}\left(4 x \arcsin 4 x+\sqrt{1-(4 x)^{2}}\right)+C= \)

    \(\ =x \arcsin 4 x+\frac{\sqrt{1-16 x^{2}}}{4}+C \)

  • Ответ

    \(\ \int \arcsin 4 x d x=x \arcsin 4 x+\frac{\sqrt{1-16 x^{2}}}{4}+C \)

  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ