Интеграл степенной функции
Интеграл степенной функции
Интеграл от \(\ x^{n} \) равен основанию в степени на единицу больше, деленному на эту степень плюс константа интегрирования
\(\ \int x^{n} d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \)
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
Найти интеграл \(\
\int x^{4} d x
\)
Согласно формуле имеем:
\(\
\int x^{4} d x=\frac{x^{4+1}}{4+1}+C=\frac{x^{5}}{5}+C
\)
\(\
\int x^{4} d x=\frac{x^{5}}{5}+C
\)
ПРИМЕР 2
Найти неопределенный интеграл
\(\
\int \frac{d x}{\sqrt[3]{x^{2}}}
\)
Запишем подынтегральную функцию в виде степенной функции по формулам:
\(\
\sqrt[m]{x^{n}}=x^{\frac{n}{m}}
\)
и
\(\
\frac{1}{x^{n}}=x^{-n}
\)
Будем иметь:
\(\
\int \frac{d x}{\sqrt[3]{x^{2}}}=\int \frac{d x}{x^{\frac{3}{3}}}=\int x^{-\frac{2}{3}} d x=\frac{x^{-\frac{3}{3}+1}}{-\frac{2}{3}+1}+C=\frac{x^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}}+C=3 \sqrt[3]{x}+C
\)
\(\
\int \frac{d x}{\sqrt[3]{x^{2}}}=3 \sqrt[3]{x}+C
\)