Узнать цену работы
Статьи по теме

Интеграл произведения функций

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Интеграл произведения функций \(\ \int f(x) g(x) d x \) в общем случае не равен произведению интегралов от каждого из факторов:

\(\ \int f(x) g(x) d x \neq \int f(x) d x \cdot \int g(x) d x \)

В зависимости от того, какие функции находятся под знаком интеграла, интеграл от произведения в некоторых случаях может быть выражен через элементарные функции, а в некоторых случаях можно оценить определенный интеграл произведения функций. Для этого используются теоремы о среднем значении.

Средние теоремы

  • Теорема

    Теорема 1. Пусть функции \(\ f(x) \)и \(\ g(x) \) интегрируемы на отрезке \(\ [a ; b] \), с \(\ m \leq f(x) \leq M, x \in[a ; b] \) и \(\ g(x) \geq 0 \) на \(\ [\mathrm{a} ; \mathrm{b}] \), затем

    \(\ m(b-a) \leq \int_{a}^{b} f(x) g(x) d x \leq M(b-a) \)

    Следствие 1. Пусть функция \(\ f(x) \) интегрируема на отрезке \(\ [a ; b] \) и ограничены на этом отрезке: \(\ m \leq f(x) \leq M \) . затем \(\ m(b-a) \leq \int_{a}^{b} f(x) g(x) d x \leq M(b-a) \)

  • Теорема

    Теорема 2. Пусть функция \(\ f(x) \) непрерывна на отрезке \(\ [\mathrm{a} ;\mathrm{b}] \), функция \(\ g(x) \geq 0 \) интегрируема на этом сегменте. Тогда существует точка \(\ c \in[a ; b] \) такая, что имеет место равенство:

    \(\ \int_{a}^{b} f(x) g(x) d x=f(c) \cdot \int_{a}^{b} g(x) d x \)

    Следствие 2. Пусть функция \(\ f(x) \) непрерывна на отрезке \(\ [\mathrm{a} ; \mathrm{b}] \). Тогда существует \(\ c \in[a ; b] \) такое, что

    \(\ \int_{a}^{b} f(x) g(x) d x=f(c)(b-a) \)

    Примеры решения проблем на тему «Интегральные работы»

    ПРИМЕР 1

    Задача

    Оцените Интеграл

    \(\ \int_{0}^{2} \frac{5-x}{9-x^{2}} d x \)

  • Решение.

    Подынтегральная функция \(\ f(x)=\frac{5-x}{9-x^{2}} \) определена на отрезке \(\ [0 ; 2] \). Используя дифференциальное исчисление, можно показать, что на этом отрезке функция принимает наименьшее значение, равное \(\ \frac{1}{2} \) ; и самый маленький \(\ -\frac{3}{5} \) . Тогда, согласно следствию 1, мы можем написать:

    \(\ \frac{1}{2} \cdot(2-0) \leq \int_{0}^{2} \frac{5-x}{9-x^{2}} d x \leq \frac{3}{5} \cdot(2-0) \)

    или же

    \(\ 1 \leq \int_{0}^{2} \frac{5-x}{9-x^{2}} d x \leq \frac{6}{5} \)

  • Ответ \(\ 1 \leq \int_{0}^{2} \frac{5-x}{9-x^{2}} d x \leq \frac{6}{5} \)

    ПРИМЕР 2

  • Задача

    Оценить Интеграл

    \(\ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} d x \)

  • Решение.

    Интегральная функция \(\ f(x)=\frac{\sin x}{x} \) убывает на сегменте интегрирования \(\ \left[\frac{\pi}{4} ; \frac{\pi}{2}\right] \), поэтому справедлива оценка:

    \(\ f\left(\frac{\pi}{2}\right) \leq f(x)=\frac{\sin x}{x} \leq f\left(\frac{\pi}{4}\right) \Rightarrow \frac{2}{\pi} \leq f(x)=\frac{\sin x}{x} \leq \frac{2 \sqrt{2}}{\pi} \)

    Тогда, согласно следствию 1, имеем:

    \(\ \frac{2}{\pi} \cdot\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right) \leq \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} d x \leq \frac{2 \sqrt{2}}{\pi} \cdot\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right) \)

    или же

    \(\ \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{4} \leq \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} d x \leq \frac{2 \sqrt{2}}{\pi} \cdot \frac{\pi}{4} \Rightarrow \frac{1}{2} \leq \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} d x \leq \frac{\sqrt{2}}{2} \)

  • Ответ

    \(\ \frac{1}{2} \leq \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} d x \leq \frac{\sqrt{2}}{2} \)

  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ