Интеграл произведения функций
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Интеграл произведения функций \(\
\int f(x) g(x) d x
\) в общем случае не равен произведению интегралов от каждого из факторов:
\(\
\int f(x) g(x) d x \neq \int f(x) d x \cdot \int g(x) d x
\)
В зависимости от того, какие функции находятся под знаком интеграла, интеграл от произведения в некоторых случаях может быть выражен через элементарные функции, а в некоторых случаях можно оценить определенный интеграл произведения функций. Для этого используются теоремы о среднем значении.
Средние теоремы
Теорема 1. Пусть функции \(\
f(x)
\)и \(\
g(x)
\) интегрируемы на отрезке \(\
[a ; b]
\), с \(\
m \leq f(x) \leq M, x \in[a ; b]
\) и \(\
g(x) \geq 0
\) на \(\
[\mathrm{a} ; \mathrm{b}]
\), затем
\(\
m(b-a) \leq \int_{a}^{b} f(x) g(x) d x \leq M(b-a)
\)
Следствие 1. Пусть функция \(\
f(x)
\) интегрируема на отрезке \(\
[a ; b]
\) и ограничены на этом отрезке: \(\
m \leq f(x) \leq M
\) . затем
\(\
m(b-a) \leq \int_{a}^{b} f(x) g(x) d x \leq M(b-a)
\)
Теорема 2. Пусть функция \(\
f(x)
\) непрерывна на отрезке \(\
[\mathrm{a} ;\mathrm{b}]
\), функция \(\
g(x) \geq 0
\) интегрируема на этом сегменте. Тогда существует точка \(\
c \in[a ; b]
\) такая, что имеет место равенство:
\(\
\int_{a}^{b} f(x) g(x) d x=f(c) \cdot \int_{a}^{b} g(x) d x
\)
Следствие 2. Пусть функция \(\
f(x)
\) непрерывна на отрезке \(\
[\mathrm{a} ; \mathrm{b}]
\). Тогда существует \(\
c \in[a ; b]
\) такое, что
\(\
\int_{a}^{b} f(x) g(x) d x=f(c)(b-a)
\)
Примеры решения проблем на тему «Интегральные работы»
ПРИМЕР 1
Задача
Оцените Интеграл
\(\
\int_{0}^{2} \frac{5-x}{9-x^{2}} d x
\)
Подынтегральная функция \(\
f(x)=\frac{5-x}{9-x^{2}}
\) определена на отрезке \(\
[0 ; 2]
\). Используя дифференциальное исчисление, можно показать, что на этом отрезке функция принимает наименьшее значение, равное \(\
\frac{1}{2}
\) ; и самый маленький \(\
-\frac{3}{5}
\) . Тогда, согласно следствию 1, мы можем написать:
\(\
\frac{1}{2} \cdot(2-0) \leq \int_{0}^{2} \frac{5-x}{9-x^{2}} d x \leq \frac{3}{5} \cdot(2-0)
\)
или же
\(\
1 \leq \int_{0}^{2} \frac{5-x}{9-x^{2}} d x \leq \frac{6}{5}
\)
ПРИМЕР 2
Оценить Интеграл
\(\
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} d x
\)
Интегральная функция \(\
f(x)=\frac{\sin x}{x}
\) убывает на сегменте интегрирования \(\
\left[\frac{\pi}{4} ; \frac{\pi}{2}\right]
\), поэтому справедлива оценка:
\(\
f\left(\frac{\pi}{2}\right) \leq f(x)=\frac{\sin x}{x} \leq f\left(\frac{\pi}{4}\right) \Rightarrow \frac{2}{\pi} \leq f(x)=\frac{\sin x}{x} \leq \frac{2 \sqrt{2}}{\pi}
\)
Тогда, согласно следствию 1, имеем:
\(\
\frac{2}{\pi} \cdot\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right) \leq \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} d x \leq \frac{2 \sqrt{2}}{\pi} \cdot\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right)
\)
или же
\(\
\frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{4} \leq \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} d x \leq \frac{2 \sqrt{2}}{\pi} \cdot \frac{\pi}{4} \Rightarrow \frac{1}{2} \leq \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} d x \leq \frac{\sqrt{2}}{2}
\)
\(\
\frac{1}{2} \leq \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} d x \leq \frac{\sqrt{2}}{2}
\)