Узнать цену работы
Статьи по теме

Косинус двойного угла

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Формула косинуса двойного угла может быть представлена в одном из типов

\(\ \cos 2 \alpha=\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha \cos 2 \alpha=2 \cos ^{2} \alpha-1 \cos 2 \alpha=1-2 \sin ^{2} \alpha \)

Формулу \(\ \cos 2 \alpha=\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha \) легко получить из формулы косинус суммы углов: \(\ \cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta \)

положив в ней \(\ \beta=\alpha \) : \(\ \cos 2 \alpha=\cos (\alpha+\alpha)=\cos \alpha \cos \alpha-\sin \alpha \sin \alpha=\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha \)

Из этого и главного тригонометрического тождества получаются две другие формулы. Выразите из главного тригонометрического тождества \(\ \sin ^{2} \alpha=1-\cos ^{2} \alpha \) и подставим в формулу \(\ \cos 2 \alpha=\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha \) , получим: \(\ \cos 2 \alpha=\cos ^{2} \alpha-\left(1-\cos ^{2} \alpha\right)=\cos ^{2} \alpha-1+\cos ^{2} \alpha=2 \cos ^{2} \alpha-1 \)

Если из основного тригонометрического тождества выразить \(\ \cos ^{2} \alpha=1-\sin ^{2} \alpha \) и подставить в \(\ \cos 2 \alpha=\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha \) , то будем иметь\(\ \cos 2 \alpha=1-\sin ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha=1-2 \sin ^{2} \alpha \)

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

  • Задание

    Упростить выражение \(\ \cos ^{4} \frac{\alpha}{2}-\sin ^{4} \frac{\alpha}{2} \)

  • Решение

    Распишем исходное выражение по формуле разности квадратов \(\ \cos ^{4} \frac{\alpha}{2}-\sin ^{4} \frac{\alpha}{2}=\left(\cos ^{2} \frac{\alpha}{2}-\sin ^{2} \frac{\alpha}{2}\right) \cdot\left(\cos ^{2} \frac{\alpha}{2}+\sin ^{2} \frac{\alpha}{2}\right) \)

    Выражение в первой скобке представляет собой формулу косинуса двойного угла, а во втором - основное тригонометрическое тождество: \(\ \cos ^{4} \frac{\alpha}{2}-\sin ^{4} \frac{\alpha}{2}=\left(\cos ^{2} \frac{\alpha}{2}-\sin ^{2} \frac{\alpha}{2}\right) \cdot\left(\cos ^{2} \frac{\alpha}{2}+\sin ^{2} \frac{\alpha}{2}\right)=\cos \left(2 \cdot \frac{\alpha}{2}\right) \cdot 1=\cos \alpha \)

  • Ответ \(\ \cos ^{4} \frac{\alpha}{2}-\sin ^{4} \frac{\alpha}{2}=\cos \alpha \)

    ПРИМЕР 2

  • Задание

    Упростить выражение \(\ 1-2 \sin ^{2}\left(45^{\circ}+1,5 \alpha\right) \)

  • Решение:

    Заданное выражение есть формула косинуса двойного угла \(\ 1-2 \sin ^{2}\left(45^{\circ}+1,5 \alpha\right)=\cos 2\left(45^{\circ}+1,5 \alpha\right)=\cos \left(90^{\circ}+3 \alpha\right) \)

    По формулам приведения \(\ \cos \left(90^{\circ}+\alpha\right)=-\sin \alpha \) , тогда окончательно получим: \(\ 1-2 \sin ^{2}\left(45^{\circ}+1,5 \alpha\right)=\cos \left(90^{\circ}+3 \alpha\right)=-\sin 3 \alpha \)

  • Ответ:

    \(\ 1-2 \sin ^{2}\left(45^{\circ}+1,5 \alpha\right)=-\sin 3 \alpha \)

  • Узнать цену работы

    Узнай цену

    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ