Косинус двойного угла
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Формула косинуса двойного угла может быть представлена в одном из типов
\(\
\cos 2 \alpha=\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha \cos 2 \alpha=2 \cos ^{2} \alpha-1 \cos 2 \alpha=1-2 \sin ^{2} \alpha
\)
Формулу \(\
\cos 2 \alpha=\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha
\) легко получить из формулы косинус суммы углов:
\(\
\cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta
\)
положив в ней \(\
\beta=\alpha
\) :
\(\
\cos 2 \alpha=\cos (\alpha+\alpha)=\cos \alpha \cos \alpha-\sin \alpha \sin \alpha=\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha
\)
Из этого и главного тригонометрического тождества получаются две другие формулы. Выразите из главного тригонометрического тождества \(\
\sin ^{2} \alpha=1-\cos ^{2} \alpha
\) и подставим в формулу \(\
\cos 2 \alpha=\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha
\) , получим: \(\
\cos 2 \alpha=\cos ^{2} \alpha-\left(1-\cos ^{2} \alpha\right)=\cos ^{2} \alpha-1+\cos ^{2} \alpha=2 \cos ^{2} \alpha-1
\)
Если из основного тригонометрического тождества выразить \(\
\cos ^{2} \alpha=1-\sin ^{2} \alpha
\) и подставить в \(\
\cos 2 \alpha=\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha
\) , то будем иметь\(\
\cos 2 \alpha=1-\sin ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha=1-2 \sin ^{2} \alpha
\)
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
Упростить выражение
\(\
\cos ^{4} \frac{\alpha}{2}-\sin ^{4} \frac{\alpha}{2}
\)
Распишем исходное выражение по формуле разности квадратов
\(\
\cos ^{4} \frac{\alpha}{2}-\sin ^{4} \frac{\alpha}{2}=\left(\cos ^{2} \frac{\alpha}{2}-\sin ^{2} \frac{\alpha}{2}\right) \cdot\left(\cos ^{2} \frac{\alpha}{2}+\sin ^{2} \frac{\alpha}{2}\right)
\)
Выражение в первой скобке представляет собой формулу косинуса двойного угла, а во втором - основное тригонометрическое тождество:
\(\
\cos ^{4} \frac{\alpha}{2}-\sin ^{4} \frac{\alpha}{2}=\left(\cos ^{2} \frac{\alpha}{2}-\sin ^{2} \frac{\alpha}{2}\right) \cdot\left(\cos ^{2} \frac{\alpha}{2}+\sin ^{2} \frac{\alpha}{2}\right)=\cos \left(2 \cdot \frac{\alpha}{2}\right) \cdot 1=\cos \alpha
\)
ПРИМЕР 2
Упростить выражение \(\
1-2 \sin ^{2}\left(45^{\circ}+1,5 \alpha\right)
\)
Заданное выражение есть формула косинуса двойного угла
\(\
1-2 \sin ^{2}\left(45^{\circ}+1,5 \alpha\right)=\cos 2\left(45^{\circ}+1,5 \alpha\right)=\cos \left(90^{\circ}+3 \alpha\right)
\)
По формулам приведения \(\
\cos \left(90^{\circ}+\alpha\right)=-\sin \alpha
\) , тогда окончательно получим:
\(\
1-2 \sin ^{2}\left(45^{\circ}+1,5 \alpha\right)=\cos \left(90^{\circ}+3 \alpha\right)=-\sin 3 \alpha
\)
\(\
1-2 \sin ^{2}\left(45^{\circ}+1,5 \alpha\right)=-\sin 3 \alpha
\)